《高中数学三角函数思维导图》
一、三角函数的定义与性质
1.1 角的概念的推广
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1.1.1 正角、负角、零角
- 定义：旋转方向决定角的正负
- 应用：描述实际问题中的旋转量
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1.1.2 象限角
- 定义：角的终边所在的象限
- 表示：集合表示象限角
- 判断：角的终边位置
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1.1.3 终边相同的角
- 公式：与角 α 终边相同的角的集合 {β | β = α + k⋅360°, k ∈ Z} 或 {β | β = α + 2kπ, k ∈ Z}
- 应用：简化三角函数值的计算，周期性
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1.1.4 弧度制
- 定义：弧长等于半径的圆心角为 1 弧度的角
- 换算：180° = π rad，1 rad = (180/π)° ≈ 57.3°
- 弧长公式：l = |α|r
- 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
- 优点：简化三角函数相关公式
1.2 三角函数的定义
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1.2.1 单位圆定义
- 任意角 α 的终边与单位圆的交点 P(x, y)，则 sin α = y，cos α = x，tan α = y/x (x ≠ 0)
- 几何意义：强调几何直观，帮助理解三角函数值的符号
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1.2.2 定义域
- sin x, cos x: R
- tan x: {x | x ≠ kπ + π/2, k ∈ Z}
- cot x: {x | x ≠ kπ, k ∈ Z}
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1.2.3 值域
- sin x, cos x: [-1, 1]
- tan x, cot x: R
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1.2.4 符号法则
- 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦
- 记忆：根据单位圆上的三角函数定义判断
1.3 三角函数的图像与性质
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1.3.1 正弦函数 y = sin x
- 图像：正弦曲线
- 性质：
- 奇函数：sin(-x) = -sin x
- 周期性：T = 2π
- 值域：[-1, 1]
- 单调性：[2kπ - π/2, 2kπ + π/2] 递增，[2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2] 递减
- 对称性：关于点 (kπ, 0) 对称，关于直线 x = kπ + π/2 对称
- 五点法作图
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1.3.2 余弦函数 y = cos x
- 图像：余弦曲线
- 性质：
- 偶函数：cos(-x) = cos x
- 周期性：T = 2π
- 值域：[-1, 1]
- 单调性：[2kπ, 2kπ + π] 递减，[2kπ - π, 2kπ] 递增
- 对称性：关于点 (kπ + π/2, 0) 对称，关于直线 x = kπ 对称
- 五点法作图
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1.3.3 正切函数 y = tan x
- 图像：正切曲线
- 性质：
- 奇函数：tan(-x) = -tan x
- 周期性：T = π
- 值域：R
- 单调性：(kπ - π/2, kπ + π/2) 递增
- 无对称轴，关于点 (kπ, 0) 对称
- 渐近线：x = kπ + π/2
1.4 函数 y = A sin(ωx + φ)
- 1.4.1 图像变换
- 平移变换：左右平移改变 φ，上下平移改变函数整体的值
- 伸缩变换：横向伸缩改变 ω，纵向伸缩改变 A
- 先平移后伸缩，或先伸缩后平移，结果不同，需注意
- 1.4.2 参数的影响
- A：振幅，影响值域
- ω：周期 T = 2π/|ω|，影响周期
- φ：初相，影响图像的左右平移
- 1.4.3 由图像求解析式
- 确定 A：观察图像的最高点和最低点
- 确定 ω：根据周期 T 确定
- 确定 φ：根据特殊点代入计算（通常选择过原点的点或最高点/最低点）
- 注意：φ 的取值范围，通常限制在 [-π, π)
二、三角恒等变换
2.1 同角三角函数关系
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2.1.1 平方关系
- sin²α + cos²α = 1
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2.1.2 商数关系
- tan α = sin α / cos α
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2.1.3 倒数关系
- tan α ⋅ cot α = 1
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2.1.4 应用
- 已知一个三角函数值，求其余三角函数值
- 化简三角函数式
2.2 诱导公式
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2.2.1 公式一：
- sin(α + 2kπ) = sin α
- cos(α + 2kπ) = cos α
- tan(α + 2kπ) = tan α
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2.2.2 公式二：
- sin(-α) = -sin α
- cos(-α) = cos α
- tan(-α) = -tan α
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2.2.3 公式三：
- sin(π - α) = sin α
- cos(π - α) = -cos α
- tan(π - α) = -tan α
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2.2.4 公式四：
- sin(π + α) = -sin α
- cos(π + α) = -cos α
- tan(π + α) = tan α
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2.2.5 公式五：
- sin(π/2 - α) = cos α
- cos(π/2 - α) = sin α
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2.2.6 公式六：
- sin(π/2 + α) = cos α
- cos(π/2 + α) = -sin α
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2.2.7 口诀：奇变偶不变，符号看象限
- “奇偶”指 π/2 的倍数的奇偶性
- “象限”指将 α 看作锐角时，原角所在的象限
2.3 两角和与差的三角函数公式
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2.3.1 cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
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2.3.2 cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
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2.3.3 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
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2.3.4 sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
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2.3.5 tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)
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2.3.6 tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β)
2.4 二倍角公式
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2.4.1 sin 2α = 2 sin α cos α
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2.4.2 cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
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2.4.3 tan 2α = 2 tan α / (1 - tan²α)
2.5 半角公式 (了解)
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2.5.1 sin(α/2) = ±√[(1 - cos α) / 2]
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2.5.2 cos(α/2) = ±√[(1 + cos α) / 2]
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2.5.3 tan(α/2) = ±√[(1 - cos α) / (1 + cos α)] = sin α / (1 + cos α) = (1 - cos α) / sin α
2.6 辅助角公式
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2.6.1 asin x + bcos x = √(a² + b²) sin(x + φ)，其中 tan φ = b/a
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2.6.2 作用：将多个三角函数化为一个三角函数，方便求值域、单调性等
2.7 万能公式 (了解)
- 用 tan(α/2) 表示其他三角函数
- 在一些特定问题中可以简化计算，但应用较少
三、解三角形
3.1 正弦定理
- 3.1.1 a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (R 为外接圆半径)
- 3.1.2 应用：
- 已知两角和一边，求其他边和角
- 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角 (注意解的个数判断)
3.2 余弦定理
- 3.2.1 a² = b² + c² - 2bc cos A
- 3.2.2 b² = a² + c² - 2ac cos B
- 3.2.3 c² = a² + b² - 2ab cos C
- 3.2.4 推论：cos A = (b² + c² - a²) / 2bc, cos B = (a² + c² - b²) / 2ac, cos C = (a² + b² - c²) / 2ab
- 3.2.5 应用：
- 已知三边，求三个角
- 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
3.3 三角形面积公式
- 3.3.1 S = (1/2)ab sin C = (1/2)bc sin A = (1/2)ac sin B
- 3.3.2 S = (abc) / (4R) (R 为外接圆半径)
- 3.3.3 S = pr (r 为内切圆半径，p 为半周长)
- 3.3.4 海伦公式：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中 p = (a+b+c)/2
3.4 解三角形的应用
- 测量问题：高度、距离、角度
- 实际问题：航海、建筑等
- 注意：建模、转化为解三角形问题