《高中必修一数学思维导图》

I. 集合与常用逻辑用语

A. 集合

1. 集合的概念

• 定义：具有某种特定性质的对象的总体。
• 元素：构成集合的每一个对象。
• 表示方法：
  • 列举法：{a, b, c, ...}
  • 描述法：{x | p(x)}，其中p(x)为x所满足的条件。
• 集合的分类：
  • 有限集
  • 无限集
  • 空集：不含任何元素的集合，记为∅。

2. 集合间的关系

• 子集：A⊆B，A的所有元素都属于B。
• 真子集：A⊂B，A⊆B且A≠B。
• 相等：A=B，A⊆B且B⊆A。
• 包含关系：A包含于B, B包含A。
• 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3. 集合的运算

• 并集：A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
• 交集：A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
• 补集：∁UA = {x | x∈U 且 x∉A}，U为全集。
• 运算性质：
  • A∪∅ = A，A∩∅ = ∅
  • A∪A = A，A∩A = A
  • A∪B = B∪A，A∩B = B∩A
  • ∁U(A∪B) = (∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B) = (∁UA)∪(∁UB)

B. 常用逻辑用语

1. 命题

• 定义：能判断真假的语句。
• 简单命题与复合命题。
• 逻辑联结词：
  • “且”（∧）：p∧q，p和q均为真时为真，否则为假。
  • “或”（∨）：p∨q，p和q至少一个为真时为真，均为假时为假。
  • “非”（¬）：¬p，p为真时为假，p为假时为真。

2. 四种命题及其关系

• 原命题：若p则q
• 逆命题：若q则p
• 否命题：若¬p则¬q
• 逆否命题：若¬q则¬p
• 关系：
  • 原命题与逆否命题等价。
  • 逆命题与否命题等价。

3. 充分条件、必要条件、充要条件

• p是q的充分条件：p⇒q（p能推出q）
• p是q的必要条件：q⇒p（q能推出p）
• p是q的充要条件：p⇔q（p能推出q且q能推出p）

4. 全称量词与存在量词

• 全称量词：∀，表示“所有”、“任意”等。
  • 全称命题：∀x∈A, p(x)
  • 全称命题的否定：∃x∈A, ¬p(x)
• 存在量词：∃，表示“存在”、“至少有一个”等。
  • 存在命题：∃x∈A, p(x)
  • 存在命题的否定：∀x∈A, ¬p(x)

II. 函数概念与基本初等函数I (指数函数、对数函数、幂函数)

A. 函数的概念与表示

1. 函数的定义

• 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A。
• 定义域：集合A。
• 值域：{y | y=f(x), x∈A} ⊆ B。

2. 函数的表示方法

• 解析法：用数学表达式表示。
• 图像法：用图像表示。
• 列表法：用表格表示。

3. 函数的性质

• 单调性：增函数、减函数。定义法判断，导数法判断。
• 奇偶性：奇函数、偶函数。定义法判断。
• 周期性：f(x+T) = f(x)。

B. 基本初等函数I

1. 指数函数

• 定义：y = ax (a>0且a≠1)
• 图像与性质：
  • a>1时，单调递增，值域为(0,+∞)。
  • 0<a<1时，单调递减，值域为(0,+∞)。
  • 恒过(0,1)点。

2. 对数函数

• 定义：y = logax (a>0且a≠1)
• 图像与性质：
  • a>1时，单调递增，值域为R。
  • 0<a<1时，单调递减，值域为R。
  • 恒过(1,0)点。
• 对数的运算性质：
  • loga(MN) = logaM + logaN
  • loga(M/N) = logaM - logaN
  • logaMn = nlogaM
  • 换底公式：logab = logcb / logca

3. 幂函数

• 定义：y = xa (a∈R)
• 常见幂函数的图像与性质 (a = 1, 2, 3, 1/2, -1)
• 特点：定义域不同，单调性不同。

4. 函数的应用

• 零点存在性定理：若f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少存在一个零点。
• 二分法求方程的近似解。
• 函数模型的建立与应用。

III. 立体几何初步

A. 空间几何体

1. 空间几何体的结构特征

• 多面体：
  • 棱柱：直棱柱、斜棱柱。
  • 棱锥：正棱锥。
  • 棱台：正棱台。
• 旋转体：
  • 圆柱
  • 圆锥
  • 圆台
  • 球

2. 空间几何体的直观图

• 斜二测画法。

3. 空间几何体的表面积与体积

• 柱体、锥体、台体的表面积与体积公式。
• 球的表面积与体积公式。

B. 点、直线、平面之间的位置关系

1. 空间直线与直线

• 异面直线：定义，判定方法。
• 异面直线的所成角。
• 直线与直线平行、垂直。

2. 空间直线与平面

• 直线与平面平行：定义，判定定理，性质定理。
• 直线与平面垂直：定义，判定定理，性质定理。

3. 平面与平面

• 平面与平面平行：定义，判定定理，性质定理。
• 平面与平面垂直：定义，判定定理，性质定理。
• 二面角：定义，求法。

4. 空间向量在立体几何中的应用

• 利用空间向量求线段的长度。
• 利用空间向量求直线与直线所成角，直线与平面所成角，平面与平面所成角。
• 判断直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直。

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