《必修一数学第二章思维导图》

I. 集合与常用逻辑用语

A. 集合

1. 集合的概念

• a. 定义： 具有某种特定性质的对象的全体构成一个集合。
• b. 元素： 组成集合的每个对象称为该集合的元素。
• c. 集合的表示：
  • i. 列举法： 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内。
  • ii. 描述法： 用集合所含元素的共同特征表示集合。
  • iii. Venn图法： 用封闭曲线内部表示集合。
• d. 集合的性质：
  • i. 确定性： 给定一个集合，任给一个元素，该元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一。
  • ii. 互异性： 集合中的元素必须互不相同。
  • iii. 无序性： 集合中元素的排列顺序无关紧要。
• e. 常用数集及其记法：
  • i. 自然数集： N (包括0)
  • ii. 正整数集： N* 或 N+
  • iii. 整数集： Z
  • iv. 有理数集： Q
  • v. 实数集： R

2. 集合间的基本关系

• a. 子集：
  • i. 定义： 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作 A⊆B (或 B⊇A)。
  • ii. 性质：
    • 任何集合是其自身的子集。
    • 空集是任何集合的子集。
    • 若 A⊆B 且 B⊆C，则 A⊆C。
• b. 真子集：
  • i. 定义： 如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作 A⊂B (或 B⊃A)。
• c. 集合相等：
  • i. 定义： 如果集合A与集合B的元素完全相同，则称A与B相等，记作 A=B。
  • ii. 等价于： A⊆B 且 B⊆A。
• d. 空集：
  • i. 定义： 不含任何元素的集合称为空集，记作 Ø。
  • ii. 性质： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3. 集合的基本运算

• a. 并集：
  • i. 定义： 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作 A∪B。
  • ii. 数学表达式： A∪B = {x | x∈A, 或 x∈B}
• b. 交集：
  • i. 定义： 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作 A∩B。
  • ii. 数学表达式： A∩B = {x | x∈A, 且 x∈B}
• c. 补集：
  • i. 定义： 在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作 ∁UA。
  • ii. 数学表达式： ∁UA = {x | x∈U, 且 x∉A}
  • iii. 性质： A∪(∁UA) = U; A∩(∁UA) = Ø

B. 常用逻辑用语

1. 命题与量词

• a. 命题：
  • i. 定义： 可以判断真假的陈述句称为命题。
  • ii. 真命题： 判断为真的命题。
  • iii. 假命题： 判断为假的命题。
• b. 量词：
  • i. 全称量词： 表示所有或每一个的量词，例如 "所有"，"任意"，通常用符号 ∀ 表示。含有全称量词的命题称为全称命题。
    • 例子： ∀x∈R，x²≥0 (对于任意实数x，x的平方大于等于0)
  • ii. 存在量词： 表示存在一个或至少一个的量词，例如 "存在"，"至少有一个"，通常用符号 ∃ 表示。含有存在量词的命题称为特称命题。
    • 例子： ∃x∈R，x² < 0 (存在一个实数x，x的平方小于0，这个命题是假的)

2. 逻辑联结词

• a. "或" (∨)：
  • i. p∨q： p或q，当p,q至少有一个为真时，p∨q为真；当p,q均为假时，p∨q为假。
• b. "且" (∧)：
  • i. p∧q： p且q，当p,q均为真时，p∧q为真；当p,q至少有一个为假时，p∧q为假。
• c. "非" (¬)：
  • i. ¬p： 非p，当p为真时，¬p为假；当p为假时，¬p为真。

3. 充分条件与必要条件

• a. 充分条件：
  • i. 定义： 若 p => q，则 p 是 q 的充分条件。即，若 p 成立，则 q 一定成立。
  • ii. 符号表示： p => q
• b. 必要条件：
  • i. 定义： 若 q => p，则 p 是 q 的必要条件。即，若 q 不成立，则 p 一定不成立。
  • ii. 符号表示： q => p
• c. 充要条件：
  • i. 定义： 若 p => q 且 q => p，则 p 是 q 的充要条件。即，p 成立当且仅当 q 成立。
  • ii. 符号表示： p <=> q

4. 命题的否定与否命题

• a. 命题的否定：
  • i. 定义： 对原命题的结论进行否定。
  • ii. 全称命题的否定： 将 ∀ 改为 ∃，并将结论否定。
    • 例子： 命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是“∃x∈R，x²<0”。
  • iii. 特称命题的否定： 将 ∃ 改为 ∀，并将结论否定。
    • 例子： 命题“∃x∈R，x²<0”的否定是“∀x∈R，x²≥0”。
• b. 原命题、逆命题、否命题、逆否命题
  • i. 原命题： 若p，则q。
  • ii. 逆命题： 若q，则p。
  • iii. 否命题： 若非p，则非q。
  • iv. 逆否命题： 若非q，则非p。
• c. 等价性： 原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价。

这部分内容是高中数学的基础，理解这些概念对于后续的学习至关重要。务必掌握集合的运算，子集与真子集的关系，充分条件和必要条件的判断，以及命题的否定等。多做练习，加深理解。