《初一数学第二章思维导图》
一、有理数
1.1 有理数的概念
1.1.1 正数与负数
- 定义：
- 正数：大于0的数
- 负数：小于0的数
- 表示方法：
- 正数：在数字前加“+” (可以省略)
- 负数：在数字前加“-”
- 0的意义：
- 既不是正数，也不是负数
- 是正数和负数的分界
- 表示没有，或者一个基准
1.1.2 有理数的分类
- 按定义分类：
- 有理数
- 整数
- 正整数
- 0
- 负整数
- 分数
- 正分数
- 负分数
- 整数
- 有理数
- 按正负分类：
- 有理数
- 正有理数
- 正整数
- 正分数
- 0
- 负有理数
- 负整数
- 负分数
- 正有理数
- 有理数
1.1.3 数轴
- 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线
- 三要素：
- 原点
- 正方向
- 单位长度
- 作用：
- 形象地表示数
- 比较数的大小
- 直观地理解相反数和绝对值的概念
1.1.4 相反数
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数
- 表示：数 a 的相反数是 -a
- 性质：
- a + (-a) = 0
- 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称
- 双重符号的化简：-(-a) = a, -(+a) = -a
- 特殊情况：0 的相反数是 0
1.1.5 绝对值
- 定义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离，记作 |a|
- 性质：
- |a| ≥ 0
- 正数的绝对值是它本身
- 负数的绝对值是它的相反数
- 0 的绝对值是 0
- 表达式：
- |a| = a (a ≥ 0)
- |a| = -a (a < 0)
- 绝对值的非负性应用：若 |a| + |b| = 0，则 a = 0 且 b = 0
1.1.6 有理数的大小比较
- 数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的数大
- 正负数比较法：
- 正数大于 0， 0 大于负数， 正数大于负数
- 两个负数比较大小：绝对值大的反而小
1.2 有理数的运算
1.2.1 有理数的加法
- 法则：
- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
- 异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
- 一个数同 0 相加，仍得这个数
- 运算律：
- 交换律： a + b = b + a
- 结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
1.2.2 有理数的减法
- 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)
1.2.3 有理数的乘法
- 法则：
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
- 任何数与 0 相乘都得 0
- 运算律：
- 交换律： a × b = b × a
- 结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 分配律： a × (b + c) = a × b + a × c
1.2.4 有理数的除法
- 法则：
- 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数，即 a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
- 0 除以任何不等于 0 的数，都得 0
- 注意：0不能作除数
1.2.5 有理数的乘方
- 定义：求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂
- a^n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a^n 读作 a 的 n 次方 (或 a 的 n 次幂)
- 性质：
- 正数的任何次幂都是正数
- 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数
- 0 的任何正整数次幂都是 0
1.2.6 科学记数法
- 定义：把一个大于 10 的数表示成 a × 10^n 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 是正整数
- n 的确定：n 等于原数的整数位数减 1
1.2.7 近似数和有效数字
- 近似数：与实际数值很接近的数
- 精确度：由四舍五入得到的近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位
- 有效数字：从左边第一个不是 0 的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字
1.2.8 有理数的混合运算
- 运算顺序：
- 先乘方，再乘除，最后加减
- 同级运算，从左到右进行
- 如有括号，先算括号内的，按照先小括号，再中括号，最后大括号的顺序进行
- 运算技巧：
- 运用运算律简化运算
- 注意符号
- 熟练掌握各种运算法则
二、代数式
2.1 代数式
2.1.1 用字母表示数
- 意义：用字母表示数可以简明地表达数量关系、运算规律和变化规律
- 书写规范：
- 数字与字母相乘，数字在前，字母在后，乘号省略
- 字母与字母相乘，乘号省略
- 除法运算写成分数形式
- 带分数要化成假分数
2.1.2 代数式
- 定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式
- 单独一个数或一个字母也是代数式
2.1.3 代数式的值
- 定义：用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值
- 求代数式的值的步骤：
- 代入：将字母的值代入代数式
- 计算：按照运算顺序计算
2.2 整式
2.2.1 单项式
- 定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式 (单独一个数或一个字母也是单项式)
- 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数
- 次数：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
2.2.2 多项式
- 定义：几个单项式的和叫做多项式
- 项：多项式中每个单项式叫做多项式的一项
- 常数项：不含字母的项叫做常数项
- 次数：多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数
2.2.3 整式
- 定义：单项式和多项式统称为整式
2.3 同类项
2.3.1 同类项的定义
- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项
- 注意：所有的常数项都是同类项
- 判别方法：两相同，两无关
- 相同字母相同
- 相同字母的指数相同
- 与系数无关
- 与字母排列顺序无关
2.3.2 合并同类项
- 法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变
- 步骤：
- 找出同类项
- 合并同类项
- 写出结果
2.4 去括号与添括号
2.4.1 去括号法则
- 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号
- 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号
2.4.2 添括号法则
- 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号
- 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号
2.5 整式的加减
2.5.1 整式加减的步骤
- 去括号
- 合并同类项
2.5.2 应用
- 解决实际问题
这个思维导图详细地涵盖了初一数学第二章的所有重要概念和知识点，并对每个知识点进行了详细的解释和说明。通过理解这些知识点，并灵活运用，可以有效地解决相关的数学问题。