《高中数学必修一知识点思维导图》

I. 集合与常用逻辑用语

*   **1. 集合**
    *   **1.1 集合的概念**
        *   定义：一些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。
        *   元素：集合中的每个对象称为该集合的元素。
        *   性质：
            *   确定性：元素必须是确定的。
            *   互异性：元素必须是互不相同的。
            *   无序性：元素的排列顺序无关紧要。
    *   **1.2 集合的表示方法**
        *   列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
        *   描述法：用集合所含元素的共同特征表示。
            *   一般形式：{x | p(x)}，其中 p(x) 表示 x 所满足的条件。
        *   Venn图法：用封闭曲线的内部代表集合。
    *   **1.3 集合之间的关系**
        *   子集：A⊆B，集合A的所有元素都是集合B的元素。
        *   真子集：A⊂B，集合A是集合B的子集，且集合A不等于集合B。
        *   空集：∅，不含任何元素的集合，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
        *   相等：A=B，集合A与集合B的元素完全相同。
    *   **1.4 集合的运算**
        *   并集：A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
        *   交集：A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
        *   补集：∁UA = {x | x∈U 且 x∉A}，U 为全集。

*   **2. 常用逻辑用语**
    *   **2.1 命题**
        *   定义：可以判断真假的陈述句。
        *   分类：
            *   原命题：若 p，则 q。
            *   逆命题：若 q，则 p。
            *   否命题：若 ¬p，则 ¬q。
            *   逆否命题：若 ¬q，则 ¬p。
        *   四种命题的关系：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。
    *   **2.2 量词**
        *   全称量词：∀，表示“所有”、“一切”。
        *   存在量词：∃，表示“存在”、“至少有一个”。
        *   含有量词的命题的否定：
            *   ∀x, p(x) 的否定是 ∃x, ¬p(x)。
            *   ∃x, p(x) 的否定是 ∀x, ¬p(x)。
    *   **2.3 充分条件与必要条件**
        *   定义：若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
        *   充分必要条件（充要条件）：p⇔q，则 p 是 q 的充分必要条件，也称 p 与 q 等价。
        *   判断方法：从定义出发，结合集合关系判断。

II. 函数概念与基本初等函数 I

*   **1. 函数的概念与性质**
    *   **1.1 函数的概念**
        *   定义：设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作：y = f(x), x∈A。
        *   定义域：集合 A。
        *   值域：{y | y = f(x), x∈A}，是集合 B 的子集。
        *   对应法则：f。
    *   **1.2 函数的表示方法**
        *   解析式法：用数学表达式表示函数关系。
        *   图像法：用函数图像表示函数关系。
        *   列表法：列出函数对应值表表示函数关系。
    *   **1.3 函数的性质**
        *   单调性：
            *   定义：设函数 f(x) 的定义域为 I，区间 D⊆I。如果对于任意 x1, x2 ∈D，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，则称函数 f(x) 在区间 D 上是增函数；如果都有 f(x1)>f(x2)，则称函数 f(x) 在区间 D 上是减函数。
            *   判断方法：定义法、导数法（高中阶段简单了解）。
        *   奇偶性：
            *   定义：设函数 f(x) 的定义域为 I，且 I 关于原点对称。如果对于任意 x∈I，都有 f(-x) = f(x)，则称函数 f(x) 为偶函数；如果都有 f(-x) = -f(x)，则称函数 f(x) 为奇函数。
            *   性质：偶函数图像关于 y 轴对称，奇函数图像关于原点对称。
        *   周期性：
            *   定义：如果存在一个非零常数 T，对于函数 f(x) 定义域内的任意一个 x，都有 f(x+T) = f(x)，那么函数 f(x) 就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期。

*   **2. 基本初等函数 I**
    *   **2.1 指数函数**
        *   定义：y = ax (a>0, a≠1)。
        *   图像：根据 a>1 和 0<a<1 分两种情况讨论。
        *   性质：
            *   定义域：R。
            *   值域：(0, +∞)。
            *   过定点 (0, 1)。
            *   a>1 时，是增函数；0<a<1 时，是减函数。
    *   **2.2 对数函数**
        *   定义：y = logax (a>0, a≠1)。
        *   图像：根据 a>1 和 0<a<1 分两种情况讨论。
        *   性质：
            *   定义域：(0, +∞)。
            *   值域：R。
            *   过定点 (1, 0)。
            *   a>1 时，是增函数；0<a<1 时，是减函数。
        *   运算法则：
            *   loga(MN) = logaM + logaN
            *   loga(M/N) = logaM - logaN
            *   logaMn = nlogaM
            *   换底公式：logab = (logcb) / (logca)
    *   **2.3 幂函数**
        *   定义：y = xα (α∈R)。
        *   常见幂函数的图像和性质：y = x, y = x2, y = x3, y = 1/x, y = √x 等。
        *   研究方法：根据 α 的不同取值，分类讨论。
    *   **2.4 函数的应用**
        *   零点：使 f(x) = 0 的 x 值。
        *   二分法：求函数零点的近似解的方法。
        *   函数模型：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型解决问题。

III. 总结

• 理解集合的概念和运算，掌握常用逻辑用语的含义。
• 掌握函数的概念、性质和表示方法。
• 熟悉指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质。
• 能够运用函数知识解决实际问题。
• 构建完整的知识体系，并学会灵活运用。