高一数学必修1思维导图
一、 集合
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1.1 集合的概念与表示
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1.1.1 集合的概念
- 定义：具有某种特定性质的对象的全体构成一个集合。
- 元素：组成集合的每个对象称为该集合的元素。
- 性质：
- 确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一。
- 互异性：集合中的元素必须是互不相同的。
- 无序性：集合中的元素没有先后顺序。
- 集合的表示方法：
- 列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内。
- 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
- 文氏图：用封闭曲线的内部来表示集合。
- 元素与集合的关系：
- 属于：a ∈ A (a是A的元素)
- 不属于：a ∉ A (a不是A的元素)
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1.1.2 常用数集及其记法
- 自然数集：N (非负整数集)
- 正整数集：N*或N+
- 整数集：Z
- 有理数集：Q
- 实数集：R
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1.2 集合间的基本关系
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1.2.1 子集
- 定义：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集，记作A ⊆ B（或B ⊇ A）。
- 真子集：如果A ⊆ B，且A ≠ B，则称集合A为集合B的真子集，记作A ⊂ B（或B ⊃ A）。
- 空集：不含任何元素的集合，记作∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
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1.2.2 集合相等
- 定义：如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A = B。
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1.3 集合的基本运算
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1.3.1 并集
- 定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B。 A∪B = {x | x∈A，或x∈B}
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1.3.2 交集
- 定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B。 A∩B = {x | x∈A，且x∈B}
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1.3.3 全集与补集
- 全集：如果集合U包含我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常记作U。
- 补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A在U中的补集，记作∁UA。 ∁UA = {x | x∈U，且x∉A}
- 重要结论：
- A ∪ (∁UA) = U
- A ∩ (∁UA) = ∅
- ∁U(∁UA) = A
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二、 函数
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2.1 函数的概念与表示
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2.1.1 函数的概念
- 定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
- 定义域：集合A叫做函数的定义域。
- 值域：与x的值对应的y的值的集合{f(x) | x∈A}叫做函数的值域。
- 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
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2.1.2 函数的表示法
- 解析法：用数学表达式表示函数。
- 图像法：用图像表示函数。
- 列表法：用表格表示函数。
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2.2 函数的基本性质
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2.2.1 函数的单调性
- 定义：
- 增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于区间D内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y=f(x)在区间D上是增函数。
- 减函数：设函数y=f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于区间D内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y=f(x)在区间D上是减函数。
- 单调区间：增函数和减函数的单调区间。
- 证明方法：
- 定义法：取值、作差、变形、定号、结论。
- 定义：
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2.2.2 函数的奇偶性
- 定义：
- 偶函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数。偶函数图像关于y轴对称。
- 奇函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数。奇函数图像关于原点对称。
- 定义域必须关于原点对称。
- 如果一个奇函数在原点有定义，则f(0) = 0。
- 定义：
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2.3 几种基本初等函数
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2.3.1 指数函数
- 定义：函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数。
- 图像与性质：
- a>1时，在R上是增函数。
- 0<a<1时，在R上是减函数。
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2.3.2 对数函数
- 定义：函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数。
- 图像与性质：
- a>1时，在(0,+∞)上是增函数。
- 0<a<1时，在(0,+∞)上是减函数。
- 对数恒等式：alogax = x
- 对数换底公式：logab = (logcb)/(logca) (c>0且c≠1)
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2.3.3 幂函数
- 定义：函数y=xα(α∈R)叫做幂函数。
- 常见幂函数的图像与性质：y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=√x。
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2.4 函数的应用 (初步了解)
- 函数的零点：对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
- 二分法求方程的近似解。
- 利用函数模型解决实际问题。
三、 总结
- 掌握集合的基本概念和运算，为后续学习打下基础。
- 理解函数的定义、性质和表示方法，能够解决简单的函数问题。
- 熟悉几种基本初等函数，能够进行简单的应用。
- 初步了解函数在实际问题中的应用。