《高等数学知识思维导图》
一、极限与连续
1.1 极限的概念
- 定义:
- 数列极限：ε-N定义
- 函数极限：ε-δ定义，单侧极限
- 性质:
- 唯一性
- 局部有界性
- 局部保号性
- 存在准则:
- 夹逼准则（迫敛性）
- 单调有界准则
- 重要极限:
- lim (x→0) sin(x)/x = 1
- lim (x→∞) (1 + 1/x)^x = e
1.2 无穷小与无穷大
- 定义:
- 无穷小：极限为0的函数
- 无穷大：极限为∞的函数
- 阶的比较:
- 同阶无穷小
- 高阶无穷小
- 低阶无穷小
- 等价无穷小
- 等价无穷小替换:
- x ~ sin(x) ~ tan(x) ~ arcsin(x) ~ arctan(x) (x→0)
- 1 - cos(x) ~ x^2/2 (x→0)
- e^x - 1 ~ x (x→0)
- ln(1+x) ~ x (x→0)
- (1+x)^α - 1 ~ αx (x→0)
1.3 函数的连续性
- 定义:
- 连续：lim (x→x0) f(x) = f(x0)
- 左连续、右连续
- 间断点:
- 第一类间断点：左右极限均存在
- 可去间断点
- 跳跃间断点
- 第二类间断点：至少一个单侧极限不存在
- 无穷间断点
- 震荡间断点
- 第一类间断点：左右极限均存在
- 闭区间上连续函数的性质:
- 有界性定理
- 最值定理
- 介值定理
- 零点定理
二、导数与微分
2.1 导数的概念
- 定义:
- 导数：f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx
- 左导数、右导数
- 几何意义:
- 切线斜率
- 物理意义:
- 瞬时变化率
2.2 求导法则
- 基本求导公式:
- (c)' = 0
- (x^μ)' = μx^(μ-1)
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- (e^x)' = e^x
- (a^x)' = a^x ln a
- (ln x)' = 1/x
- (log_a x)' = 1/(x ln a)
- 四则运算求导法则:
- (u ± v)' = u' ± v'
- (cu)' = cu'
- (uv)' = u'v + uv'
- (u/v)' = (u'v - uv') / v^2
- 复合函数求导法则 (链式法则):
- dy/dx = dy/du * du/dx
- 反函数求导法则:
- dx/dy = 1/(dy/dx)
- 隐函数求导:
- 方程两边对x求导
- 参数方程求导:
- dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
- 高阶导数:
- 逐阶求导
- 莱布尼茨公式
2.3 微分
- 定义:
- dy = f'(x) dx
- 几何意义:
- 切线的纵坐标增量
- 微分的应用:
- 近似计算
- 误差估计
三、微分中值定理与导数的应用
3.1 微分中值定理
- 罗尔定理:
- f(a) = f(b), f(x) 在 [a,b] 连续, (a,b) 可导, 则存在 ξ ∈ (a,b), 使得 f'(ξ) = 0
- 拉格朗日中值定理:
- f(x) 在 [a,b] 连续, (a,b) 可导, 则存在 ξ ∈ (a,b), 使得 f'(ξ) = [f(b) - f(a)] / (b-a)
- 柯西中值定理:
- f(x), g(x) 在 [a,b] 连续, (a,b) 可导, g'(x) ≠ 0, 则存在 ξ ∈ (a,b), 使得 [f(b) - f(a)] / [g(b) - g(a)] = f'(ξ) / g'(ξ)
- 泰勒公式:
- f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0)(x-x0)^2/2! + ... + f^(n)(x0)(x-x0)^n/n! + Rn(x)
- 佩亚诺余项
- 拉格朗日余项
3.2 导数的应用
- 单调性:
- f'(x) > 0, 则 f(x) 单调递增
- f'(x) < 0, 则 f(x) 单调递减
- 极值与最值:
- 极值：f'(x0) = 0 或 f'(x0) 不存在
- 最值：比较极值点和端点值
- 凹凸性与拐点:
- f''(x) > 0, 则 f(x) 凹
- f''(x) < 0, 则 f(x) 凸
- 拐点：f''(x0) = 0 或 f''(x0) 不存在
- 洛必达法则:
- 0/0 型, ∞/∞ 型
- 函数图形的描绘:
四、不定积分与定积分
4.1 不定积分
- 概念:
- 原函数
- 不定积分：原函数族
- 基本积分公式:
- 积分方法:
- 换元积分法 (第一类换元法, 第二类换元法)
- 分部积分法：∫ u dv = uv - ∫ v du
4.2 定积分
- 定义:
- 黎曼和的极限
- 几何意义:
- 曲边梯形的面积
- 性质:
- 线性性
- 积分区间可加性
- 积分中值定理
- 微积分基本定理 (牛顿-莱布尼茨公式):
- ∫(a,b) f(x) dx = F(b) - F(a), 其中 F'(x) = f(x)
- 定积分的计算:
- 利用不定积分计算
- 换元法
- 分部积分法
- 反常积分:
- 无穷积分
- 瑕积分
4.3 定积分的应用
- 几何应用:
- 平面图形的面积
- 旋转体的体积
- 曲线的弧长
- 物理应用:
- 变力做功
- 质心
五、多元函数微积分
5.1 多元函数的基本概念
- 多元函数: z = f(x, y)
- 极限与连续:
- 重极限
- 累次极限
- 偏导数:
- ∂z/∂x, ∂z/∂y
- 全微分:
- dz = (∂z/∂x) dx + (∂z/∂y) dy
5.2 多元复合函数求导法则
- 链式法则
5.3 隐函数求导公式
5.4 多元函数的极值
- 无条件极值:
- 必要条件：∂z/∂x = 0, ∂z/∂y = 0
- 充分条件：A = ∂^2z/∂x^2, B = ∂^2z/∂x∂y, C = ∂^2z/∂y^2, AC - B^2 > 0, A > 0 (极小值), A < 0 (极大值)
- 条件极值:
- 拉格朗日乘数法
六、无穷级数
6.1 常数项级数
- 概念:
- 级数, 部分和, 收敛, 发散
- 收敛判别法:
- 正项级数：比较判别法, 比值判别法 (达朗贝尔判别法), 根式判别法 (柯西判别法)
- 交错级数：莱布尼茨判别法
- 任意项级数：绝对收敛, 条件收敛
6.2 函数项级数
- 收敛域与和函数
- 幂级数:
- 收敛半径与收敛区间
- 幂级数的运算性质
- 泰勒级数:
- f(x) = Σ [f^(n)(x0) / n!] (x-x0)^n
- 麦克劳林级数
- 常用函数的泰勒展开式:
- e^x, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)^α
- 傅里叶级数:
- Dirichlet 定理
七、微分方程
7.1 微分方程的基本概念
- 阶: 方程中出现的最高阶导数的阶数
- 解: 满足微分方程的函数
- 通解: 包含任意常数的解
- 特解: 不包含任意常数的解
7.2 一阶微分方程
- 可分离变量的微分方程
- 齐次微分方程
- 线性微分方程:
- 一阶线性齐次微分方程
- 一阶线性非齐次微分方程
- 常数变易法
- 伯努利方程
7.3 高阶线性微分方程
- 线性微分方程解的结构
- 常系数齐次线性微分方程
- 特征方程
- 特征根
- 常系数非齐次线性微分方程
- 待定系数法
- 自由项为多项式
- 自由项为指数函数和三角函数的组合
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