高一数学必修一函数思维导图

# 《高一数学必修一函数思维导图》

## 一、集合与常用逻辑用语

### 1.1 集合

#### 1.1.1 集合的概念与表示

*   **集合的定义:** 具有某种特定性质的对象的全体。
*   **元素的特性:** 确定性、互异性、无序性。
*   **集合的表示方法:**
    *   列举法: 将集合的元素一一列举出来，写在大括号内。
    *   描述法: 用集合所含元素的共同特征表示集合。
    *   Venn图法: 用封闭曲线内部表示集合。
*   **常用数集及其记法:**
    *   自然数集(N): 0, 1, 2, 3,...
    *   正整数集(N* 或 N+): 1, 2, 3,...
    *   整数集(Z): ..., -2, -1, 0, 1, 2,...
    *   有理数集(Q): 所有可以表示为两个整数之比的数。
    *   实数集(R): 所有有理数和无理数的集合。

#### 1.1.2 集合间的基本关系

*   **子集:** 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作 A⊆B 或 B⊇A。
*   **真子集:** 如果 A⊆B，且 A≠B，则称A是B的真子集，记作 A⊂B 或 B⊃A。
*   **空集:** 不含任何元素的集合，记作 ∅。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
*   **集合相等:** 如果 A⊆B 且 B⊆A，则称A与B相等，记作 A=B。

#### 1.1.3 集合的基本运算

*   **并集:** 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作 A∪B。
*   **交集:** 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作 A∩B。
*   **补集:** 在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合，记作 ∁UA。

### 1.2 常用逻辑用语

#### 1.2.1 命题及其关系

*   **命题:** 可以判断真假的语句。
*   **真命题:** 判断为真的命题。
*   **假命题:** 判断为假的命题。
*   **简单命题:** 不含有逻辑联结词的命题。
*   **复合命题:** 由简单命题通过逻辑联结词构成的命题。
*   **四种命题:**
    *   原命题: 若 p，则 q。
    *   逆命题: 若 q，则 p。
    *   否命题: 若 ¬p，则 ¬q。
    *   逆否命题: 若 ¬q，则 ¬p。
*   **互逆命题:** 原命题和逆命题互为逆命题；否命题和逆否命题互为逆命题。
*   **互否命题:** 原命题和否命题互为否命题；逆命题和逆否命题互为否命题。
*   **互为逆否命题:** 原命题和逆否命题互为逆否命题；逆命题和否命题互为逆否命题。
*   **原命题与逆否命题等价**
*   **逆命题与否命题等价**

#### 1.2.2 充分条件与必要条件

*   **充分条件:** 若 p ⇒ q (p是q的充分条件)，则p是q的充分条件，即p成立，则q一定成立。
*   **必要条件:** 若 q ⇒ p (p是q的必要条件)，则p是q的必要条件，即q成立，则p一定成立。
*   **充要条件:** 若 p ⇔ q (p是q的充要条件)，则p是q的充分必要条件，即p成立，则q一定成立，反之亦然。

#### 1.2.3 全称量词与存在量词

*   **全称量词:** 表示“所有”、“一切”、“每一个”等含义的词语，记作 ∀。
*   **全称命题:** 含有全称量词的命题，形式为 ∀x∈M, p(x)。
*   **存在量词:** 表示“存在”、“至少有一个”、“有些”等含义的词语，记作 ∃。
*   **特称命题 (存在性命题):** 含有存在量词的命题，形式为 ∃x∈M, p(x)。
*   **全称命题的否定:** ¬(∀x∈M, p(x)) ⇔ ∃x∈M, ¬p(x)
*   **特称命题的否定:** ¬(∃x∈M, p(x)) ⇔ ∀x∈M, ¬p(x)

## 二、函数

### 2.1 函数的概念与性质

#### 2.1.1 函数的概念

*   **函数的定义:** 设A、B为非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。
*   **函数的定义域:** 集合A，记作 Df。
*   **函数的值域:** {y | y=f(x), x∈A}，记作 Cf。
*   **对应法则:** 确定的对应关系 f。
*   **函数的三要素:** 定义域、值域、对应法则。
*   **函数相等:** 如果两个函数的定义域相同，且对应法则相同，则称这两个函数相等。

#### 2.1.2 函数的表示方法

*   **解析法:** 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
*   **图象法:** 用坐标平面上的点集来表示两个变量之间的对应关系。
*   **列表法:** 列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

#### 2.1.3 函数的性质

*   **单调性:**
    *   增函数：定义域内，如果对于任意的x1, x2，且x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，则称f(x)在定义域内是增函数。
    *   减函数：定义域内，如果对于任意的x1, x2，且x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则称f(x)在定义域内是减函数。
    *   单调区间的确定方法: 定义法、导数法（导数大于0增函数，导数小于0减函数）、利用已知函数的单调性。
*   **奇偶性:**
    *   偶函数：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。偶函数图像关于y轴对称。
    *   奇函数：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数图像关于原点对称。
    *   判断函数奇偶性方法：定义法、图像法
*   **周期性:** 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T) = f(x)，则称f(x)为周期函数，T为周期。
*   **对称性:**
    *   关于x=a对称: f(a+x) = f(a-x)
    *   关于(a,0)对称: f(a+x) = -f(a-x)
    *   关于(a,b)对称: f(a+x) + f(a-x) = 2b
*   **最值:** 函数在定义域内的最大值和最小值。

### 2.2 基本初等函数

#### 2.2.1 指数函数

*   **定义:** 函数 y = ax (a>0, a≠1) 叫做指数函数。
*   **图像:** a>1时单调递增；0<a<1时单调递减。
*   **性质:**
    *   定义域: R
    *   值域: (0, +∞)
    *   恒过点 (0,1)
    *   a>1时, x>0, y>1; x<0, 0<y<1
    *   0<a<1时, x>0, 0<y<1; x<0, y>1

#### 2.2.2 对数函数

*   **定义:** 函数 y = logax (a>0, a≠1) 叫做对数函数。
*   **图像:** a>1时单调递增；0<a<1时单调递减。
*   **性质:**
    *   定义域: (0, +∞)
    *   值域: R
    *   恒过点 (1,0)
    *   a>1时, x>1, y>0; 0<x<1, y<0
    *   0<a<1时, x>1, y<0; 0<x<1, y>0
*   **常用对数:** lg x = log10 x
*   **自然对数:** ln x = loge x
*   **对数运算性质:**
    *   loga(MN) = logaM + logaN
    *   loga(M/N) = logaM - logaN
    *   logaMn = nlogaM
    *   换底公式: logab = (logcb)/(logca)

#### 2.2.3 幂函数

*   **定义:** 函数 y = xα (α∈R) 叫做幂函数。
*   **常见幂函数图像:** y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=√x。
*   **性质:** 随α值的变化，幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性均会发生变化。需要掌握常见幂函数的图像和性质。

### 2.3 函数的应用

#### 2.3.1 函数与方程

*   **函数的零点:** 使f(x)=0的x的值。
*   **零点存在性定理:** 如果函数y=f(x)在区间[a, b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在(a, b)内至少有一个零点。
*   **二分法求方程近似解:** 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而求出零点的近似值的方法。

#### 2.3.2 函数模型及其应用

*   **常见的函数模型:** 一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。
*   **解决实际问题的步骤:**
    1.  审题，弄清题意，分清条件和结论。
    2.  建立数学模型，将文字语言转化为数学语言，将实际问题转化为数学问题。
    3.  求解数学模型，得到数学结论。
    4.  检验，将数学结论回归到实际问题，进行检验，得出正确的答案。

《高一数学必修一函数思维导图》

一、集合与常用逻辑用语

1.1 集合

1.1.1 集合的概念与表示

集合的定义: 具有某种特定性质的对象的全体。
元素的特性: 确定性、互异性、无序性。
集合的表示方法:
- 列举法: 将集合的元素一一列举出来，写在大括号内。
- 描述法: 用集合所含元素的共同特征表示集合。
- Venn图法: 用封闭曲线内部表示集合。
常用数集及其记法:
- 自然数集(N): 0, 1, 2, 3,...
- 正整数集(N* 或 N+): 1, 2, 3,...
- 整数集(Z): ..., -2, -1, 0, 1, 2,...
- 有理数集(Q): 所有可以表示为两个整数之比的数。
- 实数集(R): 所有有理数和无理数的集合。

1.1.2 集合间的基本关系

子集: 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作 A⊆B 或 B⊇A。
真子集: 如果 A⊆B，且 A≠B，则称A是B的真子集，记作 A⊂B 或 B⊃A。
空集: 不含任何元素的集合，记作 ∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
集合相等: 如果 A⊆B 且 B⊆A，则称A与B相等，记作 A=B。

1.1.3 集合的基本运算

并集: 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作 A∪B。
交集: 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作 A∩B。
补集: 在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合，记作 ∁UA。

1.2 常用逻辑用语

1.2.1 命题及其关系

命题: 可以判断真假的语句。
真命题: 判断为真的命题。
假命题: 判断为假的命题。
简单命题: 不含有逻辑联结词的命题。
复合命题: 由简单命题通过逻辑联结词构成的命题。
四种命题:
- 原命题: 若 p，则 q。
- 逆命题: 若 q，则 p。
- 否命题: 若 ¬p，则 ¬q。
- 逆否命题: 若 ¬q，则 ¬p。
互逆命题: 原命题和逆命题互为逆命题；否命题和逆否命题互为逆命题。
互否命题: 原命题和否命题互为否命题；逆命题和逆否命题互为否命题。
互为逆否命题: 原命题和逆否命题互为逆否命题；逆命题和否命题互为逆否命题。
原命题与逆否命题等价
逆命题与否命题等价

1.2.2 充分条件与必要条件

充分条件: 若 p ⇒ q (p是q的充分条件)，则p是q的充分条件，即p成立，则q一定成立。
必要条件: 若 q ⇒ p (p是q的必要条件)，则p是q的必要条件，即q成立，则p一定成立。
充要条件: 若 p ⇔ q (p是q的充要条件)，则p是q的充分必要条件，即p成立，则q一定成立，反之亦然。

1.2.3 全称量词与存在量词

全称量词: 表示“所有”、“一切”、“每一个”等含义的词语，记作 ∀。
全称命题: 含有全称量词的命题，形式为 ∀x∈M, p(x)。
存在量词: 表示“存在”、“至少有一个”、“有些”等含义的词语，记作 ∃。
特称命题 (存在性命题): 含有存在量词的命题，形式为 ∃x∈M, p(x)。
全称命题的否定: ¬(∀x∈M, p(x)) ⇔ ∃x∈M, ¬p(x)
特称命题的否定: ¬(∃x∈M, p(x)) ⇔ ∀x∈M, ¬p(x)

二、函数

2.1 函数的概念与性质

2.1.1 函数的概念

函数的定义: 设A、B为非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。
函数的定义域: 集合A，记作 Df。
函数的值域: {y | y=f(x), x∈A}，记作 Cf。
对应法则: 确定的对应关系 f。
函数的三要素: 定义域、值域、对应法则。
函数相等: 如果两个函数的定义域相同，且对应法则相同，则称这两个函数相等。

2.1.2 函数的表示方法

解析法: 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
图象法: 用坐标平面上的点集来表示两个变量之间的对应关系。
列表法: 列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

2.1.3 函数的性质

单调性:
- 增函数：定义域内，如果对于任意的x1, x2，且x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，则称f(x)在定义域内是增函数。
- 减函数：定义域内，如果对于任意的x1, x2，且x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则称f(x)在定义域内是减函数。
- 单调区间的确定方法: 定义法、导数法（导数大于0增函数，导数小于0减函数）、利用已知函数的单调性。
奇偶性:
- 偶函数：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。偶函数图像关于y轴对称。
- 奇函数：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数图像关于原点对称。
- 判断函数奇偶性方法：定义法、图像法
周期性: 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T) = f(x)，则称f(x)为周期函数，T为周期。
对称性:
- 关于x=a对称: f(a+x) = f(a-x)
- 关于(a,0)对称: f(a+x) = -f(a-x)
- 关于(a,b)对称: f(a+x) + f(a-x) = 2b
最值: 函数在定义域内的最大值和最小值。

2.2 基本初等函数

2.2.1 指数函数

定义: 函数 y = ax (a>0, a≠1) 叫做指数函数。
图像: a>1时单调递增；0<a<1时单调递减。
性质:
- 定义域: R
- 值域: (0, +∞)
- 恒过点 (0,1)
- a>1时, x>0, y>1; x<0, 0<y<1
- 0<a<1时, x>0, 0<y<1; x<0, y>1

2.2.2 对数函数

定义: 函数 y = logax (a>0, a≠1) 叫做对数函数。
图像: a>1时单调递增；0<a<1时单调递减。
性质:
- 定义域: (0, +∞)
- 值域: R
- 恒过点 (1,0)
- a>1时, x>1, y>0; 0<x<1, y<0
- 0<a<1时, x>1, y<0; 0<x<1, y>0
常用对数: lg x = log10 x
自然对数: ln x = loge x
对数运算性质:
- loga(MN) = logaM + logaN
- loga(M/N) = logaM - logaN
- logaMn = nlogaM
- 换底公式: logab = (logcb)/(logca)

2.2.3 幂函数

定义: 函数 y = xα (α∈R) 叫做幂函数。
常见幂函数图像: y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=√x。
性质: 随α值的变化，幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性均会发生变化。需要掌握常见幂函数的图像和性质。

2.3 函数的应用

2.3.1 函数与方程

函数的零点: 使f(x)=0的x的值。
零点存在性定理: 如果函数y=f(x)在区间[a, b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在(a, b)内至少有一个零点。
二分法求方程近似解: 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而求出零点的近似值的方法。

2.3.2 函数模型及其应用

常见的函数模型: 一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。
解决实际问题的步骤:
1. 审题，弄清题意，分清条件和结论。
2. 建立数学模型，将文字语言转化为数学语言，将实际问题转化为数学问题。
3. 求解数学模型，得到数学结论。
4. 检验，将数学结论回归到实际问题，进行检验，得出正确的答案。

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