八上数学第一单元思维导图
《八上数学第一单元思维导图》
一、平方根
1.1 算术平方根
1.1.1 定义
- 定义：正数的正平方根，记作 $\sqrt{a}$ (a ≥ 0)。0的算术平方根是0。
- 非负性：算术平方根的值总是非负的，即 $\sqrt{a}$ ≥ 0 (a ≥ 0)。
1.1.2 表示
1.1.3 性质
- 双重非负性：被开方数a ≥ 0， 算术平方根 $\sqrt{a}$ ≥ 0。
- 平方运算与算术平方根互为逆运算： $(\sqrt{a})^2 = a$ (a ≥ 0)， $\sqrt{a^2} = a$ (a ≥ 0)。
1.1.4 应用
- 解方程：形如 $x^2 = a$ (a ≥ 0) 的方程，解为 $x = \pm \sqrt{a}$。
- 化简：将含平方因子的数化简为最简形式，例如：$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$。
- 判断：根据算术平方根的非负性，判断表达式的取值范围。
1.2 平方根
1.2.1 定义
- 定义：如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根或二次方根。
1.2.2 表示
- 符号：$\pm \sqrt{a}$ (a ≥ 0)
- 读法：正负根号a
1.2.3 性质
- 正数有两个平方根，它们互为相反数。
- 0只有一个平方根，是0。
- 负数没有平方根。
- 平方运算与平方根互为逆运算: $(\pm \sqrt{a})^2 = a$ (a ≥ 0)。
1.2.4 应用
- 解方程：形如 $x^2 = a$ (a ≥ 0) 的方程，解为 $x = \pm \sqrt{a}$。
- 求数的平方根：求给定数的正负平方根。
1.3 立方根
1.3.1 定义
- 定义：如果一个数x的立方等于a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
1.3.2 表示
- 符号：$\sqrt[3]{a}$
- 读法：三次根号a
1.3.3 性质
- 任何数都有一个立方根，且符号与原数相同。
- 正数的立方根是正数。
- 0的立方根是0。
- 负数的立方根是负数。
- 立方运算与立方根互为逆运算: $(\sqrt[3]{a})^3 = a$， $\sqrt[3]{a^3} = a$。
1.3.4 应用
- 解方程：形如 $x^3 = a$ 的方程，解为 $x = \sqrt[3]{a}$。
- 求数的立方根：求给定数的立方根。
1.4 实数
1.4.1 定义
1.4.2 分类
- 按定义分：
- 有理数：整数和分数（有限小数或无限循环小数）。
- 无理数：无限不循环小数。
- 按正负分：
1.4.3 性质
- 实数与数轴上的点一一对应。
- 实数可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，运算结果仍然是实数。
- 实数具有大小关系，可以在数轴上进行比较。
1.4.4 算术平方根的扩展
二、实数
2.1 有理数
2.1.1 定义
- 可以表示成分数形式的数 (p/q，其中p, q为整数且q ≠ 0)。
2.1.2 分类
- 整数：正整数、0、负整数。
- 分数：正分数、负分数。
2.1.3 运算
2.2 无理数
2.2.1 定义
2.2.2 常见类型
- 开方开不尽的数，如：$\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{5}$。
- 特定结构的无限不循环小数，如：0.1010010001...
- 与 π 相关的数，如：π，2π，π/3。
2.3 实数的大小比较
2.3.1 数轴法
2.3.2 法则
- 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。
- 两个正数，绝对值大的较大。
- 两个负数，绝对值大的反而小。
2.4 实数的运算
2.4.1 运算律
- 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
2.4.2 运算顺序
- 先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右；有括号，先算括号里的。
2.5 估算
2.5.1 估算方法
- 夹逼法：确定被估算数在哪两个相邻的整数之间。
- 放缩法：将估算数放大或缩小到容易计算的数。
2.5.2 估算应用
三、知识点联系
- 平方根、算术平方根、立方根是解决开方运算的基础，它们之间既有联系又有区别。
- 实数是对数的概念的扩展，将数从有理数扩展到包括无理数。
- 实数的运算是代数式运算的基础，掌握实数的运算是解决代数问题的关键。
- 估算是解决实际问题的重要手段，能够帮助我们快速地判断结果的合理性。
