《高一必修一数学第二章思维导图》
一、集合
1. 集合的概念
- 定义: 某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
- 元素: 集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
- 性质:
- 确定性: 集合中的元素必须是确定的。
- 互异性: 集合中的元素必须是互不相同的。
- 无序性: 集合中的元素没有先后顺序。
- 表示方法:
- 列举法: 将集合的元素一一列举出来写在大括号内。例如：{1, 2, 3}
- 描述法: 用集合元素的共同特征描述集合。例如：{x | x > 2}
- 韦恩图 (Venn图): 用图形表示集合。
2. 集合间的基本关系
- 子集:
- 定义: 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A为集合B的子集，记作 A⊆B (或 B⊇A)。
- 真子集: 如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作 A⊂B (或 B⊃A)。
- 空集: 不含任何元素的集合叫做空集，记作 Ø。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
- 相等: 对于两个集合A与B，如果A⊆B且B⊆A，则称集合A与集合B相等，记作 A=B。
3. 集合的基本运算
- 并集 (∪):
- 定义: 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作 A∪B。
- 表达式: A∪B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
- 交集 (∩):
- 定义: 由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作 A∩B。
- 表达式: A∩B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
- 补集 (∁UA 或 CU A):
- 定义: 在全集U中，由所有不属于集合A的元素所组成的集合，称为集合A在全集U中的补集，记作 ∁UA 或 CU A。
- 表达式: ∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}
- 全集: 包含我们所要研究的各个集合全部元素的集合，记作 U。
4. 集合的应用
- 解决实际问题: 利用集合的知识可以解决一些实际问题，如人员统计、元素分类等。
- 数学问题求解: 集合是数学的基础，很多数学概念和理论都建立在集合的基础之上。
二、函数的概念与基本初等函数I (指数函数与对数函数)
1. 函数的概念
- 定义: 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f: A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x), x∈A。
- 定义域: 集合A叫做函数的定义域。
- 值域: 与x的值对应的y的值的集合{f(x) | x∈A}叫做函数的值域。
- 对应关系: 对应关系f是函数的核心，它决定了函数值f(x)与自变量x之间的关系。
- 表示方法:
- 解析式法: 用数学表达式表示函数，例如：y = x^2 + 1
- 图像法: 用图像表示函数，通过图像直观地反映函数的性质。
- 列表法: 列出一些自变量和对应的函数值，适用于定义域是有限集合的情况。
2. 函数的基本性质
- 单调性:
- 单调递增函数: 在定义域内，如果当x1 < x2时，f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)为单调递增函数。
- 单调递减函数: 在定义域内，如果当x1 < x2时，f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)为单调递减函数。
- 单调区间: 使函数具有单调性的区间。
- 奇偶性:
- 偶函数: 对于定义域内任意一个x，都有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数。偶函数图像关于y轴对称。
- 奇函数: 对于定义域内任意一个x，都有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。奇函数图像关于原点对称。
- 非奇非偶函数: 既不是奇函数也不是偶函数。
- 周期性 (选学):
- 定义: 如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数的周期。
3. 指数函数
- 定义: 函数 y = a^x (a > 0 且 a ≠ 1) 叫做指数函数。
- 性质:
- 定义域: R
- 值域: (0, +∞)
- 恒过定点: (0, 1)
- 单调性:
- 当 a > 1 时，指数函数是单调递增函数。
- 当 0 < a < 1 时，指数函数是单调递减函数。
- 图像: 根据 a 的不同取值，图像呈现上升或下降的趋势。
4. 对数函数
- 定义: 函数 y = logₐx (a > 0 且 a ≠ 1) 叫做对数函数。
- 性质:
- 定义域: (0, +∞)
- 值域: R
- 恒过定点: (1, 0)
- 单调性:
- 当 a > 1 时，对数函数是单调递增函数。
- 当 0 < a < 1 时，对数函数是单调递减函数。
- 图像: 根据 a 的不同取值，图像呈现上升或下降的趋势。
- 对数运算性质:
- logₐ(MN) = logₐM + logₐN
- logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
- logₐMⁿ = nlogₐM
- logₐa = 1
- logₐ1 = 0
- 换底公式：logₐb = logсb / logсa (c > 0 且 c ≠ 1)
5. 指数函数与对数函数的关系
- 互为反函数: 指数函数 y = a^x 与对数函数 y = logₐx (a > 0 且 a ≠ 1) 互为反函数。它们的图像关于直线 y = x 对称。
6. 函数的应用
- 模型建立: 利用函数可以建立数学模型，解决实际问题，例如增长率问题、衰减问题等。
- 不等式求解: 利用函数的单调性可以解决一些不等式问题。