《必修五数学思维导图》
一、解三角形
1. 正弦定理
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1.1 内容： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
- a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为外接圆半径)
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1.2 应用：
- 1.2.1 已知两角和任一边，求其他边和角。
- 1.2.2 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（注意解的个数判定）。
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1.3 推论：
- a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC
- sinA = a/2R, sinB = b/2R, sinC = c/2R
- a:b:c = sinA:sinB:sinC
- 面积公式：S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)casinB = (1/2)abc/2R = 2R²sinAsinBsinC
2. 余弦定理
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2.1 内容： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：
- a² = b² + c² - 2bccosA
- b² = a² + c² - 2accosB
- c² = a² + b² - 2abcosC
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2.2 应用：
- 2.2.1 已知三边，求三个角。
- 2.2.2 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
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2.3 推论：
- cosA = (b² + c² - a²) / 2bc
- cosB = (a² + c² - b²) / 2ac
- cosC = (a² + b² - c²) / 2ab
3. 解三角形的实际应用
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3.1 测量距离：
- 测量不可到达的两点间的距离
- 测量底部不可到达的建筑物的高度
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3.2 测量角度：
- 方向角
- 仰角、俯角
- 坡度、坡角
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3.3 应用题型：
- 航海问题
- 测量问题
- 优化问题
二、数列
1. 数列的概念
- 1.1 定义： 按照一定顺序排列的一列数称为数列。
- 1.2 表示： a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...
- 1.3 项： 数列中的每一个数称为数列的项。 aₙ 称为数列的第n项。
- 1.4 通项公式： aₙ = f(n)，表示数列的第n项与项数n之间的函数关系。
- 1.5 递推公式： 表示数列相邻两项（或几项）之间的关系。
2. 等差数列
- 2.1 定义： 从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数(公差)的数列。
- 2.2 通项公式： aₙ = a₁ + (n-1)d
- 2.3 前n项和公式：
- Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2
- Sₙ = na₁ + n(n-1)d / 2
- 2.4 性质：
- 若m + n = p + q，则 aₘ + aₙ = aₚ + a<binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes>
- an = am + (n-m)d
- 若 a, A, b 成等差数列，则 A = (a+b)/2 (A称为a,b的等差中项)
- 2.5 判断数列是否为等差数列的方法：
- 定义法：aₙ₊₁ - aₙ = d (常数)
- 通项公式法：aₙ = An + B (A, B 为常数)
- 中项法：2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂
3. 等比数列
- 3.1 定义： 从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(公比)的数列。
- 3.2 通项公式： aₙ = a₁q^(n-1)
- 3.3 前n项和公式：
- 当 q ≠ 1 时，Sₙ = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q)
- 当 q = 1 时，Sₙ = na₁
- 3.4 性质：
- 若 m + n = p + q，则 aₘaₙ = aₚa<binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes>
- an = amq^(n-m)
- 若 a, G, b 成等比数列，则 G² = ab (G称为a,b的等比中项)
- 3.5 判断数列是否为等比数列的方法：
- 定义法：aₙ₊₁ / aₙ = q (常数)
- 通项公式法：aₙ = Aqⁿ (A 为常数)
- 中项法：aₙ₊₁² = aₙaₙ₊₂
4. 数列求和
- 4.1 公式法：
- 等差数列求和
- 等比数列求和
- 4.2 倒序相加法： 用于求和公式具有对称性的数列，例如：sin²1° + sin²2° + ... + sin²89°
- 4.3 错位相减法： 用于求 an = bn * cn 的和，其中 bn 为等差数列， cn 为等比数列。
- 4.4 分裂项求和法： 将数列的每一项拆成两项之差，然后进行求和，例如：1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)
- 4.5 分组求和法： 将数列分为几个部分，每一部分分别求和。
三、不等式
1. 不等关系与不等式
- 1.1 不等关系： > , < , ≥ , ≤ , ≠
- 1.2 不等式的性质：
- 对称性：a > b => b < a
- 传递性：a > b, b > c => a > c
- 加法性质：a > b => a + c > b + c
- 乘法性质：
- c > 0, a > b => ac > bc
- c < 0, a > b => ac < bc
- 推论：
- a > b, c > d => a + c > b + d
- a > b > 0, c > d > 0 => ac > bd
- a > b > 0 => aⁿ > bⁿ (n ∈ N*, n > 1)
- a > b > 0 => ⁿ√a > ⁿ√b (n ∈ N*, n > 1)
2. 一元二次不等式
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2.1 一元二次不等式的解法：
- 化为一般形式：ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 (a > 0)
- 求对应一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根 x₁ 和 x₂ (x₁ < x₂)
- 根据根的情况写出不等式的解集
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2.2 根的判别式与不等式解集的关系：
- Δ > 0 时，ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x < x₁ 或 x > x₂}，ax² + bx + c < 0 的解集为 {x | x₁ < x < x₂}
- Δ = 0 时，ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x ≠ x₁}，ax² + bx + c < 0 的解集为 ∅
- Δ < 0 时，ax² + bx + c > 0 的解集为 R，ax² + bx + c < 0 的解集为 ∅
3. 二元一次不等式（组）与线性规划
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3.1 二元一次不等式表示平面区域： 直线将平面分成两个区域，不等式表示其中一个区域。
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3.2 线性规划：
- 目标函数：z = ax + by
- 约束条件：一组二元一次不等式
- 可行域：约束条件所表示的平面区域
- 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解
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3.3 解线性规划问题：
- 画出可行域
- 确定目标函数所表示的直线
- 平移直线，找到最优解对应的顶点
- 求出最优解，计算目标函数的值
4. 基本不等式
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4.1 基本不等式：
- 若 a > 0, b > 0，则 (a+b)/2 ≥ √(ab) (当且仅当 a=b 时取等号)
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4.2 应用：
- 求最值：已知 a+b 为定值，求 ab 的最大值；已知 ab 为定值，求 a+b 的最小值。
- 注意“一正、二定、三相等”三个条件
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4.3 常见变形：
- a + b ≥ 2√(ab)
- ab ≤ [(a+b)/2]²
- a² + b² ≥ 2ab
- a²/b + b²/a ≥ a + b (a > 0, b > 0)