《数学必修3思维导图》

I. 算法初步

A. 算法的概念

1. 算法的定义

• 有穷性：算法必须在有限步骤后结束。
• 确定性：每个步骤必须有明确的意义，无歧义。
• 可行性：每个步骤都能够在有限时间内完成。
• 输入性：算法可以有零个或多个输入。
• 输出性：算法至少有一个输出。

2. 算法的描述方法

• 自然语言：通俗易懂，但易产生歧义。
• 程序框图：直观形象，逻辑清晰。
• 程序语言：精确严谨，可被计算机执行。

B. 程序框图

1. 基本程序框图符号

• 起止框：表示算法的开始和结束。
• 输入、输出框：表示数据的输入和输出。
• 处理框：表示赋值、计算等操作。
• 判断框：根据条件判断选择不同的执行路径。
• 流程线：连接各个框图，表示执行顺序。

2. 三种基本结构

• 顺序结构：步骤依次执行。
• 条件结构：根据条件判断选择执行不同的分支。
  • 单分支条件结构：IF-THEN
  • 双分支条件结构：IF-THEN-ELSE
• 循环结构：重复执行某些步骤。
  • 当型循环（While循环）：先判断条件，满足条件则执行循环体，否则退出循环。
  • 直到型循环（Until循环）：先执行循环体，再判断条件，直到满足条件才退出循环。

C. 基本算法语句

1. 输入语句：INPUT

• 从键盘输入数据赋值给变量。

2. 输出语句：PRINT

• 在屏幕上显示数据或表达式的值。

3. 赋值语句：variable = expression

• 将表达式的值赋给变量。

4. 条件语句：IF-THEN-ELSE

• 根据条件选择执行不同的代码块。

5. 循环语句：WHILE 和 UNTIL

• WHILE 循环：

  WHILE condition loop body END WHILE

• UNTIL 循环：

  REPEAT loop body UNTIL condition

D. 案例

1. 辗转相除法（欧几里得算法）：求最大公约数。

2. 秦九韶算法：高效计算多项式的值。

3. 排序算法：冒泡排序，选择排序。

4. 求方程的近似解：二分法。

II. 统计

A. 抽样方法

1. 简单随机抽样

• 定义：从总体中逐个抽取个体，每个个体被抽到的概率相等。
• 适用范围：总体容量较小。
• 方法：抽签法、随机数表法。

2. 系统抽样

• 定义：将总体均分成几个部分，按照预先规定的规则抽取个体。
• 适用范围：总体容量较大，个体分布均匀。
• 步骤：确定分段间隔，在第一段内随机抽取一个个体，然后按固定间隔抽取其他个体。

3. 分层抽样

• 定义：将总体分成若干层，在每层内按比例抽取个体。
• 适用范围：总体由差异明显的几部分组成。
• 步骤：确定各层比例，按比例抽取个体。

B. 用样本估计总体

1. 用样本的频率分布估计总体分布

• 频率分布表：分组，统计频数和频率。
• 频率分布直方图：纵轴表示频率/组距。
• 频率分布折线图：连接各组中点形成的折线。

2. 用样本的数字特征估计总体的数字特征

• 平均数：样本平均数估计总体平均数。
• 方差：样本方差估计总体方差。
• 标准差：样本标准差估计总体标准差。
  • 方差的意义：衡量数据的离散程度。方差越大，数据越分散。
  • 标准差的意义：与方差意义相同，量纲与平均数相同，更直观。

C. 变量间的相关关系

1. 散点图

• 观察变量之间的相关关系。

2. 回归直线

• 最小二乘法：求回归直线方程。
• 回归方程：y = a + bx，其中b为回归系数。
• 回归系数的意义：b表示x每增加一个单位，y平均增加b个单位。

3. 相关系数

• r：衡量线性相关程度。
• -1 ≤ r ≤ 1，|r|越接近1，线性相关性越强；r>0正相关，r<0负相关， r=0不相关。

III. 概率

A. 事件与概率

1. 随机事件

• 必然事件：一定会发生的事件。
• 不可能事件：一定不会发生的事件。
• 随机事件：可能发生也可能不发生的事件。

2. 概率的定义

• 频率：在n次重复试验中，事件A发生的次数与试验总次数的比值。
• 概率：事件A发生的频率的稳定值。
• 概率的性质：0 ≤ P(A) ≤ 1，P(必然事件) = 1，P(不可能事件) = 0。

3. 互斥事件与对立事件

• 互斥事件：两个事件不能同时发生。
  • P(A∪B) = P(A) + P(B)
• 对立事件：两个事件一定有一个发生，且不能同时发生。
  • P(A) + P(Ā) = 1，其中Ā表示事件A的对立事件。

B. 古典概型

1. 古典概型的特点

• 有限性：所有基本事件的总数是有限的。
• 等可能性：每个基本事件发生的可能性相等。

2. 古典概型的概率计算公式

• P(A) = m/n，其中n是基本事件总数，m是事件A包含的基本事件数。

C. 几何概型

1. 几何概型的特点

• 无限性：基本事件的总数是无限的。
• 等可能性：每个基本事件发生的可能性相等。

2. 几何概型的概率计算公式

• P(A) = A的度量/ Ω的度量，其中Ω表示样本空间，度量可以是长度、面积、体积等。

  D. 条件概率

1. 条件概率的定义

• 在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。

2. 条件概率的计算公式

• P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(B) > 0。

E. 独立事件

1. 独立事件的定义

• 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，则称A和B是相互独立事件。

2. 独立事件的概率计算公式

• P(A∩B) = P(A) * P(B)

F. 离散型随机变量及其分布

1. 离散型随机变量

• 取值可以一一列举的随机变量。

2. 概率分布列

• 描述随机变量所有可能取值及其对应概率的表格。
• 性质：
  • 0 ≤ P(X=xi) ≤ 1
  • ∑P(X=xi) = 1

3. 数学期望

• 描述随机变量平均取值水平的量。
• E(X) = ∑xi * P(X=xi)

4. 方差

• 描述随机变量取值分散程度的量。
• D(X) = ∑(xi - E(X))^2 * P(X=xi)
• 标准差：σ = √D(X)

5. 特殊的离散型随机变量：二项分布

• X ~ B(n, p)，表示n次独立重复试验中，事件A发生的次数。
• 每次试验只有两种结果，发生概率为p，不发生概率为1-p。
• P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
• E(X) = np
• D(X) = np(1-p)

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