《初二上学期数学思维导图》

一、数的开方

1.1 平方根

1.1.1 定义

• 若x² = a，则x是a的平方根，记作 ±√a
• a ≥ 0

1.1.2 性质

• 正数有两个平方根，互为相反数
• 0的平方根是0
• 负数没有平方根

1.1.3 平方根的表示

• 正平方根：√a
• 负平方根：-√a

1.1.4 算术平方根

• 定义：正数a的正的平方根，记作√a
• √a ≥ 0

1.2 立方根

1.2.1 定义

• 若x³ = a，则x是a的立方根，记作 ³√a

1.2.2 性质

• 正数有一个正的立方根
• 0的立方根是0
• 负数有一个负的立方根

1.2.3 立方根的表示

• ³√a

1.3 实数

1.3.1 定义

• 有理数和无理数的统称

1.3.2 分类

• 有理数：整数和分数
  • 整数：正整数、0、负整数
  • 分数：有限小数或无限循环小数
• 无理数：无限不循环小数
  • 常见形式：√2，π，0.1010010001…(每两个1之间多一个0)

1.3.3 实数与数轴

• 实数与数轴上的点一一对应

1.3.4 运算法则

• 实数的运算与有理数的运算相同

二、整式的乘除与因式分解

2.1 幂的运算

2.1.1 同底数幂的乘法

• am * an = am+n (m,n是正整数)
• 底数不变，指数相加

2.1.2 幂的乘方

• (am)n = amn (m,n是正整数)
• 底数不变，指数相乘

2.1.3 积的乘方

• (ab)n = anbn (n是正整数)
• 把积的每一个因式分别乘方

2.1.4 同底数幂的除法

• am ÷ an = am-n (a≠0, m,n是正整数, m>n)
• 底数不变，指数相减

2.1.5 零指数幂

• a0 = 1 (a≠0)

2.1.6 负整数指数幂

• a-p = 1/ap (a≠0, p是正整数)

2.2 整式的乘法

2.2.1 单项式乘单项式

• 系数相乘，同底数幂相乘，单独的字母照抄

2.2.2 单项式乘多项式

• m(a+b+c) = ma+mb+mc

2.2.3 多项式乘多项式

• (a+b)(m+n) = am+an+bm+bn

2.3 乘法公式

2.3.1 平方差公式

• (a+b)(a-b) = a² - b²

2.3.2 完全平方公式

• (a+b)² = a² + 2ab + b²
• (a-b)² = a² - 2ab + b²

2.4 整式的除法

2.4.1 单项式除以单项式

• 系数相除，同底数幂相除，单独的字母照抄

2.4.2 多项式除以单项式

• (ma+mb+mc) ÷ m = a+b+c

2.5 因式分解

2.5.1 定义

• 把一个多项式化为几个整式的积的形式

2.5.2 方法

• 提公因式法：ma+mb+mc = m(a+b+c)
• 运用公式法：
  • 平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)
  • 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a+b)² a² - 2ab + b² = (a-b)²

2.5.3 注意事项

• 因式分解要彻底
• 先提公因式，再运用公式

三、分式

3.1 分式的概念

3.1.1 定义

• 形如 A/B (A, B是整式，B≠0) 的式子

3.1.2 分式有意义的条件

• 分母不等于零，即B≠0

3.1.3 分式的值为零的条件

• 分子等于零，分母不等于零，即A=0且B≠0

3.2 分式的基本性质

3.2.1 性质

• A/B = (AM)/(BM)
• A/B = (A÷M)/(B÷M) (M≠0)

3.2.2 应用

• 分式的约分和通分

3.3 分式的运算

3.3.1 分式的乘除

• 乘法：A/B C/D = (AC)/(B*D)
• 除法：A/B ÷ C/D = (A/B) (D/C) = (AD)/(B*C)

3.3.2 分式的加减

• 同分母：A/C + B/C = (A+B)/C
• 异分母：先通分，再加减

3.3.3 分式的乘方

• (A/B)n = An/Bn

3.4 整数指数幂的扩充

3.4.1 负整数指数幂

• a-n = 1/an (a≠0, n是正整数)

3.4.2 科学计数法

• a × 10n (1≤|a|<10, n为整数)

3.5 分式方程

3.5.1 定义

• 分母中含有未知数的方程

3.5.2 解法

• 去分母，化为整式方程
• 解整式方程
• 验根 (使最简公分母为零的根是增根)

3.5.3 应用

• 解决实际问题，如工程问题，行程问题等

四、三角形

4.1 与三角形有关的线段

4.1.1 三角形的边

• 三角形任意两边之和大于第三边
• 三角形任意两边之差小于第三边

4.1.2 三角形的高

• 从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段

4.1.3 三角形的中线

• 连接三角形一个顶点和它的对边中点的线段

4.1.4 三角形的角平分线

• 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段

4.2 与三角形有关的角

4.2.1 三角形的内角和

• 三角形的内角和等于180°

4.2.2 三角形的外角

• 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
• 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角

4.3 多边形及其内角和

4.3.1 多边形的定义

• 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形

4.3.2 正多边形

• 各个角都相等，各条边都相等的多边形

4.3.3 多边形的内角和

• (n-2) × 180° (n为多边形的边数)

4.3.4 多边形的外角和

• 360°

4.4 全等三角形

4.4.1 定义

• 能够完全重合的两个三角形

4.4.2 性质

• 全等三角形的对应边相等，对应角相等

4.4.3 判定

• SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等
• SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
• ASA（角角边）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
• AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
• HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

4.5 角平分线的性质

4.5.1 性质

• 角平分线上的点到这个角两边的距离相等

4.5.2 判定

• 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

五、轴对称

5.1 轴对称图形

5.1.1 定义

• 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形

5.1.2 常见的轴对称图形

• 线段，角，等腰三角形，正方形，圆等

5.2 轴对称的性质

5.2.1 性质

• 关于某直线对称的两个图形全等
• 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
• 关于某条直线对称的图形的对应线段或对应角相等

5.3 等腰三角形

5.3.1 定义

• 有两条边相等的三角形

5.3.2 性质

• 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
• 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）

5.3.3 判定

• 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

5.4 等边三角形

5.4.1 定义

• 三条边都相等的三角形

5.4.2 性质

• 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°

5.4.3 判定

• 三个角都相等的三角形是等边三角形
• 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

5.5 线段的垂直平分线

5.5.1 性质

• 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

5.5.2 判定

• 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

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