六上数学第三单元思维导图

# 《六上数学第三单元思维导图》

## 一、单元概述

*   **单元名称:** 分数除法
*   **单元目标:**
    *   理解分数除法的意义，掌握分数除法的计算方法，并能正确地进行计算。
    *   理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法。
    *   能运用分数除法解决简单的实际问题，提高解决问题的能力。
    *   培养学生的分析、推理和解决问题的能力。
    *   感受数学知识的内在联系，体验数学的应用价值。
*   **单元重点:** 分数除法的计算方法及应用。
*   **单元难点:** 理解分数除法的意义，灵活运用分数除法解决实际问题。
*   **知识结构:** 倒数的认识 -> 分数除法的意义 -> 分数除以整数 -> 整数除以分数 -> 分数除以分数 -> 混合运算 -> 应用题。

## 二、核心概念

### 2.1 倒数的认识

*   **定义:** 乘积是1的两个数互为倒数。
    *   **要点:**
        *   互为：两个数之间的一种关系，不能单独说一个数是倒数。
        *   乘积是1：是判断两个数是否互为倒数的标准。
*   **求倒数的方法:**
    *   **求整数的倒数:** 将整数看作分母是1的分数，再分子分母颠倒位置。
        *   例如：5的倒数是1/5
    *   **求分数的倒数:** 分子分母颠倒位置。
        *   例如：2/3的倒数是3/2
    *   **求带分数的倒数:** 先将带分数化为假分数，再分子分母颠倒位置。
        *   例如：1 1/2 (即3/2) 的倒数是 2/3
    *   **求小数的倒数:** 先将小数化为分数，再分子分母颠倒位置。
        *   例如：0.2 的倒数是 5
*   **特殊情况:**
    *   1的倒数是1。
    *   0没有倒数。（因为任何数乘以0都等于0，不可能等于1）

### 2.2 分数除法的意义

*   **与整数除法的联系:** 分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
*   **一般定义:**  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做分数除法。
*   **实际意义:** 可以理解为把一个数平均分成若干份，求每份是多少；也可以理解为求一个数是另一个数的几分之几。

### 2.3 分数除法的计算方法

*   **分数除以整数:**
    *   **计算方法:** 分数除以整数 (0除外)，等于分数乘以这个整数的倒数。
    *   **数学表达式:** a/b ÷ c = a/b × 1/c  (c ≠ 0)
    *   **注意点:**
        *   整数要化成分数形式，即分母为1。
        *   能约分的要先约分，再计算，简化计算过程。
*   **整数除以分数:**
    *   **计算方法:** 整数除以分数，等于整数乘以这个分数的倒数。
    *   **数学表达式:** c ÷ a/b = c × b/a (a ≠ 0)
    *   **注意点:**
        *   整数要化成分数形式，即分母为1。
        *   能约分的要先约分，再计算，简化计算过程。
*   **分数除以分数:**
    *   **计算方法:** 分数除以分数，等于分数乘以这个分数的倒数。
    *   **数学表达式:** a/b ÷ c/d = a/b × d/c (c ≠ 0)
    *   **注意点:**
        *   能约分的要先约分，再计算，简化计算过程。
*   **总结:**  除以一个数 (0除外)，等于乘以这个数的倒数。

### 2.4 混合运算

*   **运算顺序:**
    *   先算乘除，后算加减。
    *   有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。
*   **计算技巧:**
    *   仔细观察算式，能简算的要简算。
    *   注意运算符号，避免计算错误。
    *   统一单位。
*   **常见简算方法:**
    *   乘法分配律的逆用: a × c + b × c = (a + b) × c
    *   提取公因数。

## 三、应用题

### 3.1 解题步骤

*   **审题:** 理解题意，弄清已知条件和所求问题。
*   **分析:** 分析数量关系，找出等量关系。
*   **列式:** 根据数量关系列出算式。
*   **计算:** 运用分数除法的计算方法进行计算。
*   **检验:** 检验计算结果是否符合题意，写出答案。

### 3.2 常见类型

*   **已知一个数的几分之几是多少，求这个数。**
    *   解题思路：把“这个数”看作单位“1”，用除法计算。
    *   数量关系式：已知的量 ÷ 对应的分率 = 单位“1”的量
*   **求一个数是另一个数的几分之几。**
    *   解题思路：用除法计算，求一个数占另一个数的几分之几，就是用这个数除以另一个数。
    *   数量关系式：要求的量 ÷ 被要求的量 = 对应的分率
*   **稍复杂的分数除法应用题。**
    *   解题思路：需要分析多个数量关系，找出隐藏的等量关系，然后列式计算。可以借助线段图进行分析。

### 3.3 注意事项

*   **找准单位“1”：** 很多分数除法应用题的关键在于找准单位“1”。
*   **灵活运用数量关系式：**  根据不同的题型，灵活运用数量关系式，提高解题效率。
*   **注意验算：**  养成验算的习惯，确保计算结果的正确性。

## 四、易错点

*   **对倒数概念的理解不透彻，误认为只有分数才有倒数。**
*   **分数除法计算时，忘记将除号变为乘号，或者忘记将除数变为倒数。**
*   **混合运算时，运算顺序错误。**
*   **应用题中，找错单位“1”，或者列式错误。**
*   **计算不认真，导致计算错误。**

## 五、学习方法

*   **理解概念:** 准确理解倒数和分数除法的概念。
*   **熟练计算:** 多加练习，熟练掌握分数除法的计算方法。
*   **分析问题:** 培养分析问题的能力，能够从复杂的问题中找到关键信息。
*   **多做练习:** 通过大量的练习，巩固所学知识，提高解题能力。
*   **总结归纳:** 善于总结归纳，将所学知识形成体系。
*   **主动思考:** 遇到问题主动思考，寻求解决方法。
*   **及时复习:** 定期复习，巩固知识，避免遗忘。

《六上数学第三单元思维导图》

一、单元概述

单元名称: 分数除法
单元目标:
- 理解分数除法的意义，掌握分数除法的计算方法，并能正确地进行计算。
- 理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法。
- 能运用分数除法解决简单的实际问题，提高解决问题的能力。
- 培养学生的分析、推理和解决问题的能力。
- 感受数学知识的内在联系，体验数学的应用价值。
单元重点: 分数除法的计算方法及应用。
单元难点: 理解分数除法的意义，灵活运用分数除法解决实际问题。
知识结构: 倒数的认识 -> 分数除法的意义 -> 分数除以整数 -> 整数除以分数 -> 分数除以分数 -> 混合运算 -> 应用题。

二、核心概念

2.1 倒数的认识

定义: 乘积是1的两个数互为倒数。
- 要点:
  - 互为：两个数之间的一种关系，不能单独说一个数是倒数。
  - 乘积是1：是判断两个数是否互为倒数的标准。
求倒数的方法:
- 求整数的倒数: 将整数看作分母是1的分数，再分子分母颠倒位置。
  - 例如：5的倒数是1/5
- 求分数的倒数: 分子分母颠倒位置。
  - 例如：2/3的倒数是3/2
- 求带分数的倒数: 先将带分数化为假分数，再分子分母颠倒位置。
  - 例如：1 1/2 (即3/2) 的倒数是 2/3
- 求小数的倒数: 先将小数化为分数，再分子分母颠倒位置。
  - 例如：0.2 的倒数是 5
特殊情况:
- 1的倒数是1。
- 0没有倒数。（因为任何数乘以0都等于0，不可能等于1）

2.2 分数除法的意义

与整数除法的联系: 分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
一般定义: 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做分数除法。
实际意义: 可以理解为把一个数平均分成若干份，求每份是多少；也可以理解为求一个数是另一个数的几分之几。

2.3 分数除法的计算方法

分数除以整数:
- 计算方法: 分数除以整数 (0除外)，等于分数乘以这个整数的倒数。
- 数学表达式: a/b ÷ c = a/b × 1/c (c ≠ 0)
- 注意点:
  - 整数要化成分数形式，即分母为1。
  - 能约分的要先约分，再计算，简化计算过程。
整数除以分数:
- 计算方法: 整数除以分数，等于整数乘以这个分数的倒数。
- 数学表达式: c ÷ a/b = c × b/a (a ≠ 0)
- 注意点:
  - 整数要化成分数形式，即分母为1。
  - 能约分的要先约分，再计算，简化计算过程。
分数除以分数:
- 计算方法: 分数除以分数，等于分数乘以这个分数的倒数。
- 数学表达式: a/b ÷ c/d = a/b × d/c (c ≠ 0)
- 注意点:
  - 能约分的要先约分，再计算，简化计算过程。
总结: 除以一个数 (0除外)，等于乘以这个数的倒数。

2.4 混合运算

运算顺序:
- 先算乘除，后算加减。
- 有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。
计算技巧:
- 仔细观察算式，能简算的要简算。
- 注意运算符号，避免计算错误。
- 统一单位。
常见简算方法:
- 乘法分配律的逆用: a × c + b × c = (a + b) × c
- 提取公因数。

三、应用题

3.1 解题步骤

审题: 理解题意，弄清已知条件和所求问题。
分析: 分析数量关系，找出等量关系。
列式: 根据数量关系列出算式。
计算: 运用分数除法的计算方法进行计算。
检验: 检验计算结果是否符合题意，写出答案。

3.2 常见类型

已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
- 解题思路：把“这个数”看作单位“1”，用除法计算。
- 数量关系式：已知的量 ÷ 对应的分率 = 单位“1”的量
求一个数是另一个数的几分之几。
- 解题思路：用除法计算，求一个数占另一个数的几分之几，就是用这个数除以另一个数。
- 数量关系式：要求的量 ÷ 被要求的量 = 对应的分率
稍复杂的分数除法应用题。
- 解题思路：需要分析多个数量关系，找出隐藏的等量关系，然后列式计算。可以借助线段图进行分析。

3.3 注意事项

找准单位“1”： 很多分数除法应用题的关键在于找准单位“1”。
灵活运用数量关系式： 根据不同的题型，灵活运用数量关系式，提高解题效率。
注意验算： 养成验算的习惯，确保计算结果的正确性。

四、易错点

对倒数概念的理解不透彻，误认为只有分数才有倒数。
分数除法计算时，忘记将除号变为乘号，或者忘记将除数变为倒数。
混合运算时，运算顺序错误。
应用题中，找错单位“1”，或者列式错误。
计算不认真，导致计算错误。

五、学习方法

理解概念: 准确理解倒数和分数除法的概念。
熟练计算: 多加练习，熟练掌握分数除法的计算方法。
分析问题: 培养分析问题的能力，能够从复杂的问题中找到关键信息。
多做练习: 通过大量的练习，巩固所学知识，提高解题能力。
总结归纳: 善于总结归纳，将所学知识形成体系。
主动思考: 遇到问题主动思考，寻求解决方法。
及时复习: 定期复习，巩固知识，避免遗忘。

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