《八上数学每章思维导图》

一、第一章：三角形

1.1 三角形的基础知识

• 1.1.1 定义：
  • 三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形
• 1.1.2 分类：
  • 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
  • 按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）
• 1.1.3 重要线段：
  • 角平分线：三角形一个角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段
  • 中线：连接三角形一个顶点和对边中点的线段
  • 高线：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段
• 1.1.4 重要性质：
  • 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°
  • 三角形外角性质：
    • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
    • 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
  • 三角形三边关系：
    • 三角形任意两边之和大于第三边
    • 三角形任意两边之差小于第三边

1.2 全等三角形

• 1.2.1 定义：
  • 能够完全重合的两个三角形
• 1.2.2 全等三角形的性质：
  • 对应边相等，对应角相等
• 1.2.3 全等三角形的判定方法：
  • SSS (边边边)：三边对应相等
  • SAS (边角边)：两边及其夹角对应相等
  • ASA (角边角)：两角及其夹边对应相等
  • AAS (角角边)：两角及其中一角的对边对应相等
  • HL (斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等 (仅适用于直角三角形)
• 1.2.4 角平分线的性质：
  • 角平分线上的点到角的两边距离相等
• 1.2.5 角平分线的判定：
  • 到角的两边距离相等的点在角的平分线上

1.3 等腰三角形

• 1.3.1 定义：
  • 有两条边相等的三角形
• 1.3.2 性质：
  • 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
  • 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
• 1.3.3 判定：
  • 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

1.4 等边三角形

• 1.4.1 定义：
  • 三条边都相等的三角形
• 1.4.2 性质：
  • 三个内角都相等，且都等于60°
  • 等边三角形是特殊的等腰三角形
• 1.4.3 判定：
  • 三个角都相等的三角形是等边三角形
  • 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

二、第二章：轴对称

2.1 轴对称图形

• 2.1.1 定义：
  • 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴
• 2.1.2 常见轴对称图形：
  • 线段、角、等腰三角形、等边三角形、正方形、圆、等腰梯形、正多边形等
• 2.1.3 轴对称图形的性质：
  • 对称轴是对应点连线的垂直平分线
  • 对应线段相等，对应角相等

2.2 轴对称的性质

• 2.2.1 定义：
  • 如果两个图形沿一条直线折叠，能够完全重合，这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴
• 2.2.2 作轴对称图形：
  • 确定关键点，找到关键点的对应点，连接对应点即可
• 2.2.3 性质：
  • 对应点所连的线段被对称轴垂直平分
  • 对应线段相等，对应角相等
  • 两个轴对称图形全等

2.3 线段的垂直平分线

• 2.3.1 定义：
  • 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线
• 2.3.2 性质：
  • 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
• 2.3.3 判定：
  • 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

三、第三章：实数

3.1 平方根

• 3.1.1 算术平方根：
  • 定义：一个正数的算术平方根是正的平方根，0的算术平方根是0
  • 表示：$\sqrt{a}$ (a≥0)
• 3.1.2 平方根：
  • 定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根
  • 表示：±$\sqrt{a}$ (a≥0)
  • 性质：一个正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根
• 3.1.3 开平方：
  • 求一个数的平方根的运算

3.2 立方根

• 3.2.1 定义：
  • 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根
  • 表示：$\sqrt[3]{a}$
• 3.2.2 性质：
  • 一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根
• 3.2.3 开立方：
  • 求一个数的立方根的运算

3.3 实数

• 3.3.1 定义：
  • 有理数和无理数统称为实数
• 3.3.2 无理数：
  • 无限不循环小数
  • 常见的无理数：π、根号下开不尽方的数
• 3.3.3 实数与数轴：
  • 实数与数轴上的点一一对应
• 3.3.4 实数的运算：
  • 实数的运算顺序与有理数的运算顺序相同
  • 实数的运算法则与有理数的运算法则相同

四、第四章：变量之间的关系

4.1 变量与函数

• 4.1.1 变量：
  • 在一个变化过程中，可以取不同数值的量
• 4.1.2 常量：
  • 在一个变化过程中，始终保持不变的量
• 4.1.3 函数：
  • 定义：设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y ，如果对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一的值与其对应，那么就说 y 是 x 的函数， x 是自变量， y 是因变量。
• 4.1.4 函数的表示方法：
  • 列表法
  • 关系式法（解析式法）
  • 图像法

4.2 函数的图像

• 4.2.1 图像的意义：
  • 直观地反映函数的变化趋势
• 4.2.2 如何画函数图像：
  • 列表：选择合适的自变量值，计算对应的函数值
  • 描点：在坐标系中描出以表中数值为坐标的各个点
  • 连线：按照自变量由小到大的顺序，把描出的点依次用平滑的曲线连接起来

4.3 用关系式表示的变量间关系

• 4.3.1 关系式的意义：
  • 用数学表达式表示变量之间的关系
• 4.3.2 实际问题中的函数关系：
  • 分析实际问题中的数量关系，建立函数关系式
• 4.3.3 函数的简单应用：
  • 根据函数关系式求值
  • 根据图像分析函数的变化趋势

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