《七下数学思维导图分章》

第一章：整式的乘除

1.1 幂的运算

1.1.1 同底数幂的乘法

• 概念：底数相同，指数相加。
• 公式：a^m * a^n = a^(m+n) (m,n为正整数)
• 注意：底数必须相同，可以是一个单项式或多项式。

1.1.2 幂的乘方

• 概念：指数相乘。
• 公式：(a^m)^n = a^(mn) (m,n为正整数)
• 注意：区分同底数幂的乘法和幂的乘方。

1.1.3 积的乘方

• 概念：每个因式分别乘方。
• 公式：(ab)^n = a^n * b^n (n为正整数)
• 注意：推广到多个因式的情况。

1.1.4 同底数幂的除法

• 概念：底数相同，指数相减。
• 公式：a^m / a^n = a^(m-n) (a≠0, m,n为正整数,m>n)
• 零指数幂：a^0 = 1 (a≠0)
• 负整数指数幂：a^(-p) = 1/a^p (a≠0, p为正整数)

1.2 整式的乘法

1.2.1 单项式乘以单项式

• 系数相乘，相同字母的幂相乘，单独的字母照抄。

1.2.2 单项式乘以多项式

• 运用乘法分配律，转化为单项式乘以单项式。
• 公式：m(a+b+c) = ma + mb + mc

1.2.3 多项式乘以多项式

• 运用乘法分配律，转化为单项式乘以多项式。
• 公式：(a+b)(m+n) = am + an + bm + bn

1.3 整式的除法

1.3.1 单项式除以单项式

• 系数相除，相同字母的幂相除，单独的字母照抄。

1.3.2 多项式除以单项式

• 运用除法分配律，转化为单项式除以单项式。
• 公式：(am + bm + cm) / m = a + b + c (m≠0)

1.4 平方差公式

• 公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
• 特征：两数和乘以这两数的差。
• 应用：简化计算，因式分解。

1.5 完全平方公式

• 公式：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• 公式：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• 特征：两数和（差）的平方。
• 应用：简化计算，因式分解。
• 常见变形：a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a-b)^2 + 2ab

第二章：平行线的性质与判定

2.1 相交线与平行线

2.1.1 相交线

• 邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角。邻补角互补。
• 对顶角：两条直线相交所构成的四个角中，没有公共顶点且没有公共边的两个角。对顶角相等。
• 垂直：两条直线相交成直角。
• 垂线：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。
• 点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度。

2.1.2 平行线

• 定义：在同一平面内，不相交的两条直线。
• 表示：AB∥CD
• 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
• 平行线的传递性：如果a∥b，b∥c，那么a∥c。

2.2 平行线的判定

2.2.1 同位角相等，两直线平行

• 理解：同位角的位置关系。

2.2.2 内错角相等，两直线平行

• 理解：内错角的位置关系。

2.2.3 同旁内角互补，两直线平行

• 理解：同旁内角的位置关系。

2.3 平行线的性质

2.3.1 两直线平行，同位角相等

2.3.2 两直线平行，内错角相等

2.3.3 两直线平行，同旁内角互补

2.4 平移

• 定义：将一个图形沿某个方向移动一定的距离。
• 性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。
• 平移方向，平移距离。
• 对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等。

第三章：三角形

3.1 三角形的有关概念

3.1.1 三角形的定义

• 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
• 三角形的表示：△ABC
• 三角形的边、角、顶点。

3.1.2 三角形的三边关系

• 三角形任意两边之和大于第三边。
• 三角形任意两边之差小于第三边。

3.1.3 三角形的分类

• 按角分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
• 按边分：不等边三角形，等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。

3.2 三角形的高、中线与角平分线

3.2.1 高

• 从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

3.2.2 中线

• 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。

3.2.3 角平分线

• 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。

3.3 三角形的内角和

• 三角形的内角和等于180°。
• 直角三角形两个锐角互余。

3.4 三角形的外角

• 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角。
• 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
• 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
• 三角形外角和等于360°。

3.5 多边形及其内角和

3.5.1 多边形的定义

• 由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形。

3.5.2 正多边形

• 各边都相等，各角都相等的多边形。

3.5.3 多边形的内角和

• n边形的内角和等于(n-2)×180°。

3.5.4 多边形的外角和

• 多边形的外角和等于360°。

第四章：变量之间的关系

4.1 变量与函数

4.1.1 变量

• 在一个变化过程中，数值发生变化的量。
• 自变量：可以变化的量。
• 因变量：随着自变量变化而变化的量。

4.1.2 函数

• 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。

4.2 用关系式表示的变量间关系

• 能够用数学表达式表示的变量间关系。

4.3 用表格表示的变量间关系

• 用表格记录变量的变化情况。

4.4 用图像表示的变量间关系

• 用坐标系表示变量的变化情况。
• 分析图像，获取信息。

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