《数学七年级下册第五章思维导图》
一、相交线与平行线
1. 相交线
1.1. 邻补角与对顶角
- 定义：
- 邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点和一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角。
- 对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。
- 性质：
- 邻补角互补，即它们的和等于180°。
- 对顶角相等。
- 例题： 求解已知邻补角或对顶角的度数。
1.2. 垂线
- 定义： 两条直线相交，当其中一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
- 性质：
- 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
- 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（点到直线的距离）
- 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
- 例题： 作垂线，计算点到直线的距离。
1.3. 同位角、内错角、同旁内角
- 定义：
- 同位角：都在截线的同旁，又都在被截两直线的同一方。
- 内错角：都在截线的两旁，又都在被截两直线之间。
- 同旁内角：都在截线的同旁，又都在被截两直线之间。
- 寻找方法： 在复杂的图形中准确找出同位角、内错角和同旁内角。
2. 平行线及其判定
2.1. 平行线的定义与表示
- 定义： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
- 表示： 直线a平行于直线b，记作 a∥b。
2.2. 平行公理及其推论
- 平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
- 推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（平行线的传递性）
2.3. 平行线的判定方法
- 方法一： 同位角相等，两直线平行。
- 方法二： 内错角相等，两直线平行。
- 方法三： 同旁内角互补，两直线平行。
- 判定方法选择： 根据题目的已知条件，选择合适的判定方法。
- 例题： 利用判定方法证明两条直线平行。
3. 平行线的性质
3.1. 平行线的性质
- 性质一： 两直线平行，同位角相等。
- 性质二： 两直线平行，内错角相等。
- 性质三： 两直线平行，同旁内角互补。
- 性质与判定的区别： 性质是已知平行，推出角的关系；判定是已知角的关系，推出平行。
3.2. 平行线的综合应用
- 已知平行求角度： 利用平行线的性质，求解角度问题。
- 已知角度证明平行： 利用平行线的判定，证明直线平行。
- 综合运用： 结合平行线的性质和判定，解决更复杂的问题。
- 例题： 综合运用平行线的性质和判定，求解几何证明题。
4. 平移
4.1. 平移的定义与要素
- 定义： 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
- 要素： 平移的方向和平移的距离。
4.2. 平移的性质
- 性质：
- 平移不改变图形的形状和大小。
- 连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
4.3. 利用平移作图
- 平移线段： 将线段沿指定方向平移指定距离。
- 平移图形： 将图形沿指定方向平移指定距离。
- 例题： 运用平移的性质解决实际问题，如设计图案等。
二、三角形
1. 与三角形有关的线段
1.1. 三角形的定义与表示
- 定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 表示： △ABC，顶点分别为A、B、C。
1.2. 三角形的分类
- 按角分类：
- 锐角三角形：三个内角都是锐角。
- 直角三角形：有一个角是直角。
- 钝角三角形：有一个角是钝角。
- 按边分类：
- 不等边三角形：三条边都不相等。
- 等腰三角形：有两条边相等。
- 等边三角形：三条边都相等，是特殊的等腰三角形。
1.3. 三角形的三边关系
- 结论： 三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。
- 应用： 判断三条线段能否组成三角形。
- 例题： 给定三条线段的长度，判断能否构成三角形。
1.4. 三角形的高、中线与角平分线
- 高： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
- 中线： 连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
- 角平分线： 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
- 特性：
- 三角形有三条高，三条中线，三条角平分线。
- 三角形的高、中线、角平分线都是线段。
- 例题： 画出三角形的高、中线和角平分线。
2. 与三角形有关的角
2.1. 三角形的内角和
- 结论： 三角形的三个内角的和等于180°。
- 证明： 常用辅助线方法进行证明。
- 应用： 已知三角形中两个角的度数，求第三个角的度数。
2.2. 三角形的外角
- 定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
- 性质：
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
- 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
- 例题： 利用外角的性质，求解角度问题。
2.3. 多边形的内角和与外角和
- 内角和： n边形的内角和等于 (n-2)×180°。
- 外角和： 多边形的外角和等于360°。
- 正多边形： 各个角都相等，各条边都相等的多边形。
- 例题： 求解多边形的内角和与外角和。
三、变量之间的关系
1. 变量与常量
- 变量： 在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量。
- 常量： 在一个变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量。
- 识别变量与常量： 根据实际问题，判断哪些量在变化，哪些量不变。
2. 函数的初步认识
- 函数的定义： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
- 函数关系式： 用含自变量的代数式表示函数的关系。
- 函数的三种表示方法：
- 解析式法：用代数式表示函数关系。
- 列表法：列出变量的对应值。
- 图像法：用图像表示函数关系。
- 例题： 判断是否为函数关系，求函数值。
3. 函数的图像
- 图像的意义： 函数的图像直观地反映了变量之间的关系。
- 图像的绘制： 列表、描点、连线。
- 从图像中获取信息： 观察图像的形状，分析变量之间的关系，例如：增长趋势、最大值、最小值等。
- 例题： 根据实际问题，绘制函数图像并分析其特征。
本思维导图较为详细地梳理了七年级下册数学第五章的主要内容，包括相交线与平行线、三角形以及变量之间的关系。每个部分都包含了定义、性质、判定方法以及相应的例题，有助于更好地理解和掌握本章知识。