《五年级数学第三单元思维导图》

一、单元概述

1.1 单元名称

• 小数除法

1.2 学习目标

• 掌握小数除法的计算方法。
  • 理解商不变的性质在小数除法中的应用。
  • 能够进行简单的估算和验算。
  • 解决与小数除法相关的实际问题。
  • 培养良好的计算习惯和解决问题的能力。

1.3 单元重点

• 小数除以整数。
  • 一个数除以小数。
  • 商的近似数。
  • 循环小数。
  • 用计算器探索规律。
  • 解决问题。

1.4 单元难点

• 除数是小数的除法计算法则的理解和应用。
  • 循环小数的概念和判断。
  • 根据实际情况取商的近似数。

二、小数除以整数

2.1 计算方法

• 竖式计算: 按照整数除法的计算方法，除到被除数的末尾仍有余数，在余数后面补0继续除。
  • 小数点处理: 商的小数点要和被除数的小数点对齐。

2.2 注意事项

• 当整数部分不够除时，商0占位。
  • 除到末尾有余数时，可以在余数后面添0继续除。
  • 如果被除数比除数小，商小于1。

2.3 应用

• 平均分问题。
  • 总价/数量=单价。

三、一个数除以小数

3.1 计算方法

• 转化: 把除数转化成整数。
  • 移动小数点: 根据商不变的性质，将被除数和除数同时扩大相同的倍数（通常是10, 100, 1000...），使除数变成整数。
  • 计算: 按照小数除以整数的方法计算。

3.2 商不变的性质

• 内容: 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
  • 应用: 是小数除法转化的理论依据。

3.3 注意事项

• 移动小数点时，位数不够要用0补足。
  • 验算时可以用商乘以除数，看是否等于被除数。

3.4 应用

• 单价/总价问题。
  • 除数是小数的应用题。

四、商的近似数

4.1 方法

• 计算: 先按照小数除法的方法计算出商，多除一位或两位。
  • 取舍: 根据需要，按“四舍五入”法取商的近似数。

4.2 常见近似数

• 保留一位小数: 看第二位小数。
  • 保留两位小数: 看第三位小数。
  • 保留整数: 看第一位小数。

4.3 注意事项

• 要明确题目要求，例如：保留几位小数。
  • 计算时要多除一位，确保结果的准确性。

4.4 应用

• 生活中很多实际问题不需要算出准确的商，只需要保留一定的小数位数。
  • 例如：平均身高、平均成绩等。

五、循环小数

5.1 定义

• 循环小数: 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

5.2 分类

• 循环节: 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
  • 纯循环小数: 循环节从小数部分的第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数。
  • 混循环小数: 循环节不是从小数部分的第一位开始的循环小数，叫做混循环小数。

5.3 表示方法

• 简写: 在循环小数的循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。
  • 例如: 5.333… 可以写作 5.3̇

5.4 注意事项

• 无限小数不一定是循环小数。
  • 循环小数一定是无限小数。

5.5 应用

• 某些计算结果会出现循环小数，了解其概念有助于更好地理解计算结果的含义。

六、用计算器探索规律

6.1 运用计算器

• 能够熟练使用计算器进行小数除法的计算。

6.2 探索规律

• 观察: 通过计算器计算一组有规律的算式，观察结果的特点。
  • 归纳: 总结算式的规律。
  • 验证: 用其他的算式验证总结的规律。

6.3 应用

• 培养学生的观察、分析和归纳能力。
  • 提高学生发现和解决问题的能力。

七、解决问题

7.1 分析题意

• 认真阅读题目，理解题意。
  • 找出已知条件和所求问题。
  • 分析数量关系。

7.2 解题方法

• 列式: 根据数量关系列出算式。
  • 计算: 进行计算。
  • 检验: 检验计算结果是否符合题意。
  • 答: 写出答案。

7.3 常见题型

• 总价、单价、数量之间的关系。
  • 工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。
  • 平均数问题。

7.4 注意事项

• 根据实际情况取商的近似数（例如：进一法，去尾法）。
  • 题目中的单位名称要统一。

八、单元总结

8.1 知识梳理

• 复习本单元的重点知识，例如：小数除法的计算方法、商不变的性质、商的近似数、循环小数等。

8.2 易错点

• 除数是小数的除法计算时，忘记移动小数点。
  • 求商的近似数时，没有按照题目要求保留小数位数。
  • 应用题中，没有根据实际情况取商的近似数。

8.3 学习方法

• 多练习，熟练掌握小数除法的计算方法。
  • 认真审题，理清数量关系。
  • 养成良好的计算习惯。
  • 注重知识的积累和运用。

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