《初一下册数学第七章思维导图》

一、平面直角坐标系

1.1 坐标系的组成

• 1.1.1 横轴（x轴）
  • 水平方向的直线
  • 规定正方向
  • 规定单位长度
  • 原点为零点
• 1.1.2 纵轴（y轴）
  • 垂直于x轴的直线
  • 规定正方向
  • 规定单位长度
  • 原点为零点
• 1.1.3 原点
  • 横轴和纵轴的交点
  • 坐标为 (0, 0)

1.2 坐标系中的点

• 1.2.1 有序数对
  • 用一对有顺序的数 (x, y) 表示一个点的位置
  • x 代表横坐标，y 代表纵坐标
  • 顺序不同，表示的点不同
• 1.2.2 坐标的意义
  • 横坐标：点到 y 轴的距离，正负表示方向（右正左负）
  • 纵坐标：点到 x 轴的距离，正负表示方向（上正下负）

1.3 各象限的符号特征

• 1.3.1 第一象限
  • 横坐标 > 0, 纵坐标 > 0 (+ , +)
• 1.3.2 第二象限
  • 横坐标 < 0, 纵坐标 > 0 (- , +)
• 1.3.3 第三象限
  • 横坐标 < 0, 纵坐标 < 0 (- , -)
• 1.3.4 第四象限
  • 横坐标 > 0, 纵坐标 < 0 (+ , -)
• 1.3.5 坐标轴上的点
  • x轴上：纵坐标为 0 (x, 0)
  • y轴上：横坐标为 0 (0, y)
  • 原点： (0, 0)

1.4 特殊位置的点

• 1.4.1 关于 x 轴对称的点
  • 横坐标相同，纵坐标互为相反数 (x, y) -> (x, -y)
• 1.4.2 关于 y 轴对称的点
  • 纵坐标相同，横坐标互为相反数 (x, y) -> (-x, y)
• 1.4.3 关于原点对称的点
  • 横纵坐标都互为相反数 (x, y) -> (-x, -y)

二、变量之间的关系

2.1 变量与常量

• 2.1.1 变量
  • 在一个变化过程中，数值发生变化的量
  • 常用字母 x, y, z 等表示
• 2.1.2 常量
  • 在一个变化过程中，数值保持不变的量

2.2 函数

• 2.2.1 函数的定义
  • 对于变量 x 的每一个确定的值，变量 y 都有唯一确定的值与其对应，则称 y 是 x 的函数，x 是自变量
• 2.2.2 自变量
  • 可以取不同数值的变量
• 2.2.3 函数值
  • 与自变量的值对应的 y 的值
• 2.2.4 函数的表示方法
  • 表格法：清晰展现部分对应关系
  • 关系式法（解析式法）：精确表达函数关系
  • 图像法：直观展现变化趋势

2.3 函数的图像

• 2.3.1 图像的意义
  • 直观地反映函数的变化趋势
• 2.3.2 图像的画法
  • 列表：选取适当的 x 值，计算对应的 y 值
  • 描点：在坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点
  • 连线：按照 x 值从小到大的顺序，把描出的点用平滑的曲线依次连接起来

2.4 函数的应用

• 2.4.1 利用图像解决问题
  • 根据图像读取信息
  • 判断函数的变化趋势
  • 解决实际问题
• 2.4.2 利用解析式解决问题
  • 代入自变量的值，求函数值
  • 根据函数值，求解自变量的值
  • 分析函数关系，解决实际问题

三、简单的平移

3.1 平移的概念

• 3.1.1 平移的定义
  • 在平面内，将一个图形整体沿着某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移
• 3.1.2 平移的要素
  • 平移的方向
  • 平移的距离

3.2 图形的平移

• 3.2.1 点的平移
  • 向右平移 a 个单位： (x, y) -> (x + a, y)
  • 向左平移 a 个单位： (x, y) -> (x - a, y)
  • 向上平移 b 个单位： (x, y) -> (x, y + b)
  • 向下平移 b 个单位： (x, y) -> (x, y - b)
• 3.2.2 图形的平移
  • 图形上所有点都按照相同的方向和距离平移
  • 只需确定图形上几个关键点的平移位置，然后依次连接即可

3.3 平移的性质

• 3.3.1 对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等
• 3.3.2 平移不改变图形的形状和大小
• 3.3.3 平移前后对应角相等

3.4 平移的应用

• 3.4.1 图案设计
• 3.4.2 解决实际问题
• 3.4.3 证明几何问题

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