《五年级上册数学第六单元多边形的面积思维导图》

中心主题：多边形的面积

一、平行四边形的面积

• 定义： 两组对边分别平行的四边形。
• 面积公式： S = 底 × 高 (S = a × h)
  • 底(a): 平行四边形任意一边都可以作为底。
  • 高(h): 与底垂直的线段的长度，即顶点到对边的距离。
• 公式推导：
  • 通过剪、拼的方法将平行四边形转化为长方形。
  • 长方形的面积 = 长 × 宽
  • 平行四边形的底 = 长方形的长
  • 平行四边形的高 = 长方形的宽
  • 因此，平行四边形的面积 = 底 × 高
• 注意事项：
  • 必须找准对应的底和高，高必须垂直于底。
  • 同一个平行四边形，底不同，对应的高也不同。
• 变式应用：
  • 已知面积和底，求高：h = S ÷ a
  • 已知面积和高，求底：a = S ÷ h
  • 实际问题：花坛面积，土地面积等。

二、三角形的面积

• 定义： 由三条线段围成的封闭图形。
• 面积公式： S = 底 × 高 ÷ 2 (S = a × h ÷ 2)
  • 底(a): 三角形的任意一条边都可以作为底。
  • 高(h): 从三角形的一个顶点到对边的垂直线段的长度。
• 公式推导：
  • 用两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
  • 平行四边形的面积 = 底 × 高
  • 每个三角形的面积 = 平行四边形面积的一半
  • 因此，三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2
• 注意事项：
  • 高必须垂直于底。
  • 同一个三角形，底不同，对应的高也不同。
• 变式应用：
  • 已知面积和底，求高：h = S × 2 ÷ a
  • 已知面积和高，求底：a = S × 2 ÷ h
  • 实际问题：红领巾面积，标志牌面积等。
• 特殊三角形：
  • 直角三角形：两条直角边分别为底和高，S = 两直角边乘积 ÷ 2
  • 钝角三角形：注意高的画法，可能在三角形外部。

三、梯形的面积

• 定义： 只有一组对边平行的四边形。
  • 上底(a): 较短的平行边。
  • 下底(b): 较长的平行边。
  • 高(h): 上底和下底之间的垂直距离。
• 面积公式： S = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b) × h ÷ 2)
• 公式推导：
  • 用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。
  • 平行四边形的底 = 上底 + 下底
  • 平行四边形的高 = 梯形的高
  • 每个梯形的面积 = 平行四边形面积的一半
  • 因此，梯形的面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2
• 注意事项：
  • 正确区分上底和下底。
  • 高必须垂直于上下底。
• 变式应用：
  • 已知面积、上底和高，求下底：b = S × 2 ÷ h - a
  • 已知面积、下底和高，求上底：a = S × 2 ÷ h - b
  • 已知面积、上下底，求高：h = S × 2 ÷ (a + b)
• 特殊梯形：
  • 直角梯形：有一个角是直角的梯形。
  • 等腰梯形：两腰相等的梯形。

四、组合图形的面积

• 定义： 由两个或两个以上基本图形组合而成的图形。
• 解题思路：
  • 分割法： 将组合图形分割成几个基本图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形）。
  • 添补法： 在组合图形上添补一些图形，使之成为一个大的基本图形，然后用大图形的面积减去添补图形的面积。
• 解题步骤：
  1. 观察图形，确定解题思路（分割或添补）。
  2. 根据思路，画出辅助线。
  3. 找出各个基本图形的已知条件，并计算出未知条件。
  4. 根据面积公式计算各个基本图形的面积。
  5. 根据分割或添补的方法，计算出组合图形的面积。
• 注意事项：
  • 选择合适的分割或添补方法，尽量减少计算步骤。
  • 确保计算过程中使用的数据准确无误。
  • 注意单位的统一。
• 常见组合图形：
  • 由长方形和三角形组成。
  • 由长方形和梯形组成。
  • 由两个三角形组成。
  • 等等。

五、不规则图形的面积

• 方法：
  • 估算： 将不规则图形近似地看作规则图形，估算出面积。
  • 数方格法： 将不规则图形放在方格纸上，数出完整的方格数和不满一格的方格数，估算出面积。（每个方格代表一定的面积单位）。
    • 满格按1个计算。
    • 半格以上的按1个计算，半格以下的舍去。
• 注意事项：
  • 选择合适的方格大小，方格越小，估算越精确。
  • 尽量细致地数方格，减少误差。
• 应用： 估算树叶、湖泊、地图等不规则图形的面积。

六、知识拓展与总结

• 知识迁移： 理解面积公式的本质，能够灵活运用到实际问题中。
• 数学思想：
  • 转化思想：将复杂图形转化为简单图形。
  • 割补思想：分割与添补是解决组合图形面积的重要方法。
  • 估算思想：对不规则图形进行近似估计。
• 易错点：
  • 忘记除以2（三角形和梯形的面积）。
  • 底和高不对应。
  • 单位不统一。
• 总结： 掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式，能够计算组合图形和不规则图形的面积。培养灵活运用知识解决实际问题的能力。