《北师大五年级数学上册思维导图》

一、 数与代数

• （一） 小数除法

  • 1. 除数是整数的小数除法

    • 概念： 掌握除数是整数的小数除法的计算方法。
    • 算法：
      • 按照整数除法的法则去除。
      • 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
      • 如果有余数，要添0继续除。
    • 应用： 解决实际问题。
    • 易错点： 小数点对齐，添0继续除。

  • 2. 除数是小数的小数除法

    • 概念： 掌握除数是小数的小数除法的计算方法。
    • 算法：
      • 把除数变成整数。
      • 被除数扩大相同的倍数。
      • 按照除数是整数的小数除法计算。
    • 原理： 商不变的性质。
    • 应用： 解决实际问题。
    • 易错点： 小数点移动的位数，被除数忘记扩大。

  • 3. 商的近似数

    • 概念： 根据需要保留不同位数的小数。
    • 方法：
      • 多除一位，然后按照四舍五入法取近似数。
      • 注意保留的位数。
    • 应用： 解决实际问题，如单价，平均数等。
    • 易错点： 精确到哪一位。

  • 4. 循环小数

    • 概念： 一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现。
    • 循环节： 重复出现的数字。
    • 简便写法： 在循环节的第一个数字和最后一个数字上面点上点。
    • 分类： 纯循环小数，混循环小数。
    • 应用： 认识循环小数。
    • 易错点： 循环节的确定，循环小数的读法和写法。

  • 5. 用计算器探索规律

    • 方法： 使用计算器进行小数除法运算，观察结果，发现规律。
    • 类型： 商的变化规律，循环小数的规律等。
    • 应用： 培养观察能力，发现规律的能力。

• （二） 轴对称和平移

  • 1. 轴对称

    • 概念： 如果一个图形沿一条直线对折，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
    • 特点： 对应点到对称轴的距离相等，对应点的连线与对称轴垂直。
    • 常见轴对称图形： 正方形、长方形、圆、等腰三角形、等边三角形等。
    • 画法：
      • 找出关键点。
      • 过关键点作对称轴的垂线。
      • 在垂线上找出对应点。
      • 连接各点。
    • 应用： 识别和绘制轴对称图形。

  • 2. 平移

    • 概念： 在平面内，将一个图形整体沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
    • 特点： 大小和形状不变，只有位置发生改变，对应线段平行且相等。
    • 方向和距离： 平移需要明确平移的方向和距离。
    • 画法：
      • 找出关键点。
      • 按照指定方向和距离平移关键点。
      • 连接各点。
    • 应用： 理解和绘制平移图形。

  • 3. 图案设计

    • 方法： 利用轴对称和平移设计图案。
    • 步骤：
      • 确定基本图形。
      • 确定对称轴或平移方向和距离。
      • 进行轴对称或平移变换。
      • 重复变换，形成图案。
    • 应用： 培养空间想象能力和创造能力。

• （三） 倍数与因数

  • 1. 倍数和因数

    • 概念： 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
    • 特点：
      • 倍数和因数是相互依存的，不能单独存在。
      • 一个数的倍数有无限个，一个数的因数有限个。
    • 寻找方法：
      • 找倍数：用这个数依次乘1，2，3…
      • 找因数：用这个数依次除以1，2，3…直到商和除数相等。
    • 应用： 理解倍数和因数的概念。

  • 2. 2、3、5的倍数特征

    • 2的倍数： 个位上是0，2，4，6，8的数。
    • 5的倍数： 个位上是0或5的数。
    • 3的倍数： 各个数位上的数字之和是3的倍数。
    • 应用： 快速判断一个数是否是2、3、5的倍数。

  • 3. 奇数和偶数

    • 概念：
      • 偶数：是2的倍数的数。
      • 奇数：不是2的倍数的数。
    • 特点：
      • 偶数用2n表示，奇数用2n+1表示（n为整数）。
      • 最小的偶数是0，最小的奇数是1。
    • 运算规律：
      • 奇数+奇数=偶数
      • 偶数+偶数=偶数
      • 奇数+偶数=奇数
    • 应用： 判断数的奇偶性，解决相关问题。

  • 4. 质数和合数

    • 概念：
      • 质数：只有1和它本身两个因数的数。
      • 合数：除了1和它本身，还有其他因数的数。
    • 1： 既不是质数，也不是合数。
    • 最小的质数： 2
    • 最小的合数： 4
    • 判断方法： 找出所有因数，看是否只有两个。
    • 100以内的质数： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
    • 应用： 理解质数和合数的概念。

  • 5. 分解质因数

    • 概念： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。
    • 方法： 短除法。
    • 应用： 为约分、通分做准备。

  • 6. 最大公因数和最小公倍数

    • 概念：
      • 公因数：几个数公有的因数。
      • 最大公因数：几个数公有的因数中最大的一个。
      • 公倍数：几个数公有的倍数。
      • 最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个。
    • 求解方法：
      • 列举法。
      • 短除法。
    • 特殊情况：
      • 互质的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
      • 如果大数是小数的倍数，那么小数是这两个数的最大公因数，大数是这两个数的最小公倍数。
    • 应用： 解决实际问题，为约分、通分做准备。

• （四） 分数的意义

  • 1. 分数的意义

    • 概念： 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
    • 分数单位： 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数。
    • 组成： 分数由分子、分母和分数线组成。
    • 意义： 分母表示平均分的份数，分子表示取的份数。
    • 分类： 真分数、假分数、带分数。

  • 2. 真分数和假分数

    • 真分数： 分子比分母小的分数，真分数小于1。
    • 假分数： 分子大于或等于分母的分数，假分数大于或等于1。
    • 带分数： 整数部分和真分数组成的分数。
    • 假分数与带分数的互化：
      • 假分数化成带分数：用分子除以分母，商作整数部分，余数作分子，分母不变。
      • 带分数化成假分数：用整数部分乘分母加分子作分子，分母不变。

  • 3. 分数的基本性质

    • 内容： 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
    • 应用： 约分和通分。

  • 4. 约分

    • 概念： 把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
    • 最简分数： 分子和分母只有公因数1的分数。
    • 方法： 找出分子和分母的最大公因数，然后用最大公因数去除分子和分母。

  • 5. 通分

    • 概念： 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
    • 方法： 找出原来几个分母的最小公倍数，把各分数的分子和分母分别乘以一个数，使分母变成原来分母的最小公倍数。
    • 应用： 比较分数的大小，进行分数的加减运算。

  • 6. 分数的大小比较

    • 同分母分数： 分子大的分数大。
    • 同分子分数： 分母小的分数大。
    • 异分母分数： 先通分，化成同分母分数，再比较大小。

二、 空间与图形

• （一） 多边形的面积

  • 1. 平行四边形的面积

    • 公式： S = ah (面积 = 底 × 高)
    • 推导过程： 通过割补法，将平行四边形转化成长方形。
    • 应用： 计算平行四边形的面积，解决实际问题。

  • 2. 三角形的面积

    • 公式： S = (1/2)ah (面积 = 底 × 高 ÷ 2)
    • 推导过程： 通过拼摆两个相同的三角形，拼成平行四边形。
    • 应用： 计算三角形的面积，解决实际问题。

  • 3. 梯形的面积

    • 公式： S = (1/2)(a+b)h (面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2)
    • 推导过程： 通过拼摆两个相同的梯形，拼成平行四边形。
    • 应用： 计算梯形的面积，解决实际问题。

  • 4. 组合图形的面积

    • 方法： 分割法，添补法。
    • 步骤：
      • 分析图形的组成。
      • 选择合适的方法进行分割或添补。
      • 计算各部分面积。
      • 将各部分面积相加或相减。
    • 应用： 计算复杂图形的面积。

三、 统计与概率

• （一） 可能性

  • 1. 确定事件和不确定事件

    • 确定事件： 一定会发生的事件，一定不会发生的事件。
    • 不确定事件： 可能发生，也可能不发生的事件。

  • 2. 可能性的大小

    • 判断： 根据事件发生的可能性的大小进行判断。
    • 描述： 用“一定”、“不可能”、“可能”、“很可能”、“不太可能”等词语描述。
    • 应用： 分析可能性的大小。

四、 综合应用

• （一） 解决问题

  • 1. 策略：
    • 审题：理解题意，明确已知条件和所求问题。
    • 分析：分析数量关系，找到解题思路。
    • 解答：列式计算，检验答案。
    • 反思：回顾解题过程，总结经验教训。
  • 2. 类型：
    • 小数除法应用题。
    • 多边形面积应用题。
    • 倍数和因数应用题。
    • 分数应用题。

五、 学习方法

• （一） 预习

  • 方法： 提前阅读教材，了解学习内容，尝试解决简单的问题。

• （二） 课堂听讲

  • 要求： 认真听讲，积极思考，做好笔记，及时提问。

• （三） 课后复习

  • 方法： 回顾课堂内容，完成作业，及时纠错，总结方法。

• （四） 练习

  • 要求： 多做练习，巩固知识，提高解题能力。

• （五） 总结

  • 方法： 定期总结所学知识，形成知识体系。