《数学必修2思维导图》

一、空间几何初步

1.1 空间几何体的结构

1.1.1 柱体

1.1.1.1 棱柱

• 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
• 分类：直棱柱、斜棱柱；正棱柱、斜棱柱。
• 性质：
  • 侧棱都相等，平行且相等。
  • 上下底面是全等的多边形。
  • 棱柱的各侧面都是平行四边形。
• 表面积：S = 2S底 + S侧
• 体积：V = S底 * h

1.1.1.2 圆柱

• 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
• 性质：
  • 轴截面是矩形。
  • 上下底面是圆。
  • 母线都平行且相等。
• 表面积：S = 2πr² + 2πrh
• 体积：V = πr²h

1.1.2 锥体

1.1.2.1 棱锥

• 定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
• 分类：正棱锥、斜棱锥。
• 性质：
  • 侧棱交于一点。
  • 底面是多边形，侧面是三角形。
• 表面积：S = S底 + S侧
• 体积：V = (1/3)S底 * h

1.1.2.2 圆锥

• 定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。
• 性质：
  • 轴截面是等腰三角形。
  • 底面是圆。
• 表面积：S = πr² + πrl （l为母线长）
• 体积：V = (1/3)πr²h

1.1.3 台体

1.1.3.1 棱台

• 定义：由棱锥截去一个较小的棱锥所得的几何体。
• 性质：
  • 上下底面是相似的多边形。
• 表面积：S = S上底 + S下底 + S侧
• 体积：V = (1/3)h(S上底 + S下底 + √(S上底 * S下底))

1.1.3.2 圆台

• 定义：由圆锥截去一个较小的圆锥所得的几何体。
• 性质：
  • 上下底面是圆。
• 表面积：S = π(r₁² + r₂²) + π(r₁ + r₂)l
• 体积：V = (1/3)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂)

1.1.4 球体

• 定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合。
• 性质：
  • 球心到球面上任意一点的距离都相等。
• 表面积：S = 4πR²
• 体积：V = (4/3)πR³

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.2.1 三视图

• 正视图（主视图）：从前向后观察得到的图形。
• 侧视图（左视图）：从左向右观察得到的图形。
• 俯视图（顶视图）：从上向下观察得到的图形。
• 关系：“长对正、高平齐、宽相等”。

1.2.2 直观图

• 斜二测画法：
  • 水平放置的图形不变。
  • 竖直方向的长度减半。
  • 水平方向的夹角变为45度。

1.3 空间几何体的表面积与体积

1.3.1 表面积公式

• 各种几何体的表面积公式见上文。

1.3.2 体积公式

• 各种几何体的体积公式见上文。
• 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面的面积都相等，那么它们的体积相等。

二、点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1 公理

• 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
• 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
• 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
• 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

2.1.2 定理

• 如果一条直线与平面内的两条相交直线都平行，那么该直线与此平面平行。
• 如果两个平面同时与第三个平面平行，那么这两个平面互相平行。

2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 线面平行

• 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
• 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

2.2.2 面面平行

• 判定定理：一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
• 性质定理：如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 线面垂直

• 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
• 性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

2.3.2 面面垂直

• 判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
• 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2.4 空间角

2.4.1 异面直线所成的角

• 取一条直线上的任意一点，过该点作另一条直线的平行线，这两条平行线所成的锐角或直角叫做这两条异面直线所成的角。

2.4.2 直线与平面所成的角

• 直线与平面不垂直时，过直线上一点作平面的垂线，垂足与该点连成的直线与已知直线所成的锐角叫做直线与平面所成的角。
• 直线与平面垂直时，夹角为90度。

2.4.3 二面角

• 从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角。
• 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

三、直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1.1 倾斜角

• 定义：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角。
• 范围：[0°, 180°)

3.1.2 斜率

• 定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，通常用k表示。
• 公式：k = tanα = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) (x₁ ≠ x₂)

3.2 直线的方程

3.2.1 点斜式

• 公式：y - y₀ = k(x - x₀) (k已知，点(x₀, y₀)已知)

3.2.2 斜截式

• 公式：y = kx + b (k已知，截距b已知)

3.2.3 两点式

• 公式：(y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁) (两点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)已知，且x₁ ≠ x₂，y₁ ≠ y₂)

3.2.4 截距式

• 公式：x / a + y / b = 1 (x轴截距a已知，y轴截距b已知，且a ≠ 0，b ≠ 0)

3.2.5 一般式

• 公式：Ax + By + C = 0 (A，B不同时为0)

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两直线的交点坐标

• 解方程组：联立两条直线的方程，解得的(x, y)就是交点坐标。

3.3.2 距离公式

• 点到直线的距离：d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) (点(x₀, y₀)到直线Ax + By + C = 0的距离)
• 两平行线间的距离：d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²) (两条平行线Ax + By + C₁ = 0和Ax + By + C₂ = 0之间的距离)

四、圆的方程

4.1 圆的方程

4.1.1 圆的标准方程

• 公式：(x - a)² + (y - b)² = r² (圆心(a, b)，半径r)

4.1.2 圆的一般方程

• 公式：x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² - 4F > 0, 圆心(-D/2, -E/2), 半径r = √(D² + E² - 4F)/2 )

4.2 直线与圆的位置关系

4.2.1 几何法

• 圆心到直线的距离d与半径r的关系：
  • d < r 相交
  • d = r 相切
  • d > r 相离

4.2.2 代数法

• 联立直线和圆的方程，求解方程组，判别式Δ：
  • Δ > 0 相交
  • Δ = 0 相切
  • Δ < 0 相离

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