《数学必修1思维导图》

一、集合与常用逻辑用语

1. 集合

1.1. 集合的概念

• 定义： 具有某种特定性质的对象的总体。
• 元素： 组成集合的每个对象。
• 集合元素的性质：
  • 确定性： 元素的归属必须是确定的。
  • 互异性： 集合中的元素不能重复。
  • 无序性： 集合中元素的排列顺序无关紧要。
• 集合的表示方法：
  • 列举法： 将集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来。
  • 描述法： 用集合中元素的共同特征描述集合。
  • Venn图法： 用封闭曲线的内部代表集合。

1.2. 集合间的基本关系

• 子集 (⊆)： 集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素。
• 真子集 (⊂)： 集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A。
• 相等 (=)： 集合 A 和集合 B 具有相同的元素。
• 空集 (∅)： 不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

1.3. 集合的基本运算

• 并集 (A∪B)： 由所有属于 A 或属于 B 的元素组成的集合。
• 交集 (A∩B)： 由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合。
• 补集 (∁UA)： 由全集 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合。

1.4. 集合的应用

• 解决不等式问题
• 解决方程问题
• 分类讨论

2. 常用逻辑用语

2.1. 命题

• 定义： 能判断真假的陈述句。
• 真命题： 判断为真的命题。
• 假命题： 判断为假的命题。
• 简单命题与复合命题：
  • 简单命题：不包含其他命题作为组成部分的命题。
  • 复合命题：由简单命题通过逻辑联结词连接而成的命题。

2.2. 逻辑联结词

• 或 (∨)： p∨q，当 p 和 q 中至少有一个为真时，p∨q 为真；当 p 和 q 都为假时，p∨q 为假。
• 且 (∧)： p∧q，当 p 和 q 都为真时，p∧q 为真；当 p 和 q 中至少有一个为假时，p∧q 为假。
• 非 (¬)： ¬p，当 p 为真时，¬p 为假；当 p 为假时，¬p 为真。

2.3. 量词

• 全称量词 (∀)： “所有的”、“任意的”。
• 存在量词 (∃)： “存在一个”、“至少有一个”。
• 含全称量词的命题的否定： ∀x∈M, p(x) 的否定是 ∃x∈M, ¬p(x)。
• 含存在量词的命题的否定： ∃x∈M, p(x) 的否定是 ∀x∈M, ¬p(x)。

2.4. 充分条件与必要条件

• 充分条件： 若 p 则 q 为真，则 p 是 q 的充分条件。记作 p⇒q。
• 必要条件： 若 p 则 q 为真，则 q 是 p 的必要条件。记作 q⇐p。
• 充要条件： 若 p 则 q 为真，且 q 则 p 为真，则 p 是 q 的充要条件。记作 p⇔q。

二、函数概念与基本初等函数I

1. 函数的概念与性质

1.1. 函数的概念

• 定义： 设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。
• 定义域： x 的取值范围，即集合 A。
• 值域： y 的取值范围，即集合 {f(x) | x∈A}。
• 函数的三要素： 定义域、值域、对应关系。两个函数相同，当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致。

1.2. 函数的表示法

• 解析法： 用数学表达式表示函数关系。
• 图像法： 用图像表示函数关系。
• 列表法： 用表格列出一些自变量与函数值对应的数值。

1.3. 函数的性质

• 单调性：
  • 增函数： 在区间 D 上，若 x1 < x2，则 f(x1) < f(x2)。
  • 减函数： 在区间 D 上，若 x1 < x2，则 f(x1) > f(x2)。
• 奇偶性：
  • 奇函数： f(-x) = -f(x)。图像关于原点对称。
  • 偶函数： f(-x) = f(x)。图像关于 y 轴对称。
• 周期性： 存在常数 T，使得 f(x+T) = f(x) 对定义域内任意 x 都成立。

1.4. 函数的图像变换

• 平移变换： 左加右减，上加下减。
• 对称变换： 关于 x 轴，y 轴，原点。
• 伸缩变换： 横坐标伸缩，纵坐标伸缩。

2. 基本初等函数I

2.1. 指数函数

• 定义： y = a^x (a > 0, a ≠ 1)。
• 图像： a > 1 时，单调递增；0 < a < 1 时，单调递减。
• 性质： 定义域 R，值域 (0, +∞)。

2.2. 对数函数

• 定义： y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)。
• 图像： a > 1 时，单调递增；0 < a < 1 时，单调递减。
• 性质： 定义域 (0, +∞)，值域 R。
• 对数运算性质： logₐ(MN) = logₐM + logₐN，logₐ(M/N) = logₐM - logₐN，logₐMⁿ = nlogₐM。
• 换底公式： logₐb = logₓb / logₓa。

2.3. 幂函数

• 定义： y = xᵃ (α ∈ R)。
• 性质： 性质与 α 的取值有关，如 y = x, y = x², y = x³, y = x^(1/2), y = x^(-1)。

3. 函数的应用

3.1. 函数与方程

• 函数的零点： 使 f(x) = 0 的 x 的值。
• 零点存在性定理： 如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b) < 0，那么函数 f(x) 在区间 (a, b) 内有零点。

3.2. 函数模型及其应用

• 建立函数模型解决实际问题。
• 常见的函数模型：一次函数模型，二次函数模型，指数函数模型，对数函数模型，幂函数模型。

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