《数学函数思维导图高中》
一、函数概念与表示
1.1 集合与常用逻辑用语
- 集合
- 集合的定义、性质
- 集合的表示方法（列举法、描述法、图像法）
- 集合间的基本关系（子集、真子集、空集、相等）
- 集合的基本运算（并集、交集、补集）
- 常用逻辑用语
- 命题与量词
- 命题的定义、真假判断
- 全称量词与存在量词的定义、使用
- 逻辑联结词
- 或、且、非的定义、真值表
- 充分条件、必要条件与充要条件
- 定义与判断方法
- 集合间的包含关系与条件的对应关系
- 简单的逻辑推理
- 直接证明（综合法、分析法）
- 间接证明（反证法）
- 命题与量词
1.2 函数的概念
- 函数的定义
- 定义域、值域、对应关系
- 函数相等的判定
- 函数的表示方法
- 解析法
- 图像法
- 列表法
1.3 函数的性质
- 单调性
- 增函数、减函数的定义
- 单调性的判定方法（定义法、导数法）
- 单调区间的求法
- 奇偶性
- 奇函数、偶函数的定义
- 奇偶性的判定方法
- 奇偶函数的图像特征
- 周期性
- 周期函数的定义
- 周期的求法
- 对称性
- 轴对称
- 中心对称
- 对称轴和对称中心的求法
二、基本初等函数
2.1 指数函数
- 指数的运算
- 指数幂的定义、运算性质
- 根式的概念、运算
- 指数函数的定义与图像
- 定义域、值域
- 图像的特征
- 底数对图像的影响
- 指数函数的性质
- 单调性
- 过定点
- 值域
2.2 对数函数
- 对数的运算
- 对数的定义
- 对数的运算性质
- 换底公式
- 对数函数的定义与图像
- 定义域、值域
- 图像的特征
- 底数对图像的影响
- 对数函数的性质
- 单调性
- 过定点
- 值域
2.3 幂函数
- 幂函数的定义与图像
- 定义域
- 图像的特征
- 不同指数下的图像变化
- 幂函数的性质
- 单调性
- 过定点
- 奇偶性
2.4 函数的应用
- 零点存在性定理
- 定理的内容
- 应用
- 二分法求方程的近似解
- 步骤
- 误差控制
- 函数模型的建立与应用
- 常见函数模型的选择
- 实际问题转化为数学问题
- 求解与解释
三、三角函数
3.1 三角函数的概念
- 角的概念的推广
- 任意角
- 弧度制
- 三角函数的定义
- 正弦、余弦、正切的定义
- 三角函数值的符号
- 同角三角函数的基本关系
- 平方关系
- 商数关系
- 诱导公式
- 公式的记忆与应用
3.2 三角函数的图像与性质
- 正弦函数的图像与性质
- 图像的绘制（五点法）
- 定义域、值域
- 单调性
- 奇偶性
- 周期性
- 余弦函数的图像与性质
- 图像的绘制（五点法）
- 定义域、值域
- 单调性
- 奇偶性
- 周期性
- 正切函数的图像与性质
- 图像的绘制
- 定义域、值域
- 单调性
- 周期性
- y = Asin(ωx+φ) 的图像与性质
- 振幅、周期、频率、相位、初相
- 图像的变换（平移、伸缩）
3.3 三角恒等变换
- 和角公式与差角公式
- 正弦、余弦、正切的和角与差角公式
- 公式的推导与应用
- 二倍角公式
- 正弦、余弦、正切的二倍角公式
- 辅助角公式
- 公式的推导与应用
- 半角公式与万能公式 (了解)
3.4 解三角形
- 正弦定理
- 定理的内容与应用
- 余弦定理
- 定理的内容与应用
- 三角形面积公式
- 公式的应用
- 实际问题中的应用
- 测量问题
- 几何问题
四、函数与导数
4.1 导数的概念与运算
- 导数的概念
- 导数的定义
- 导数的几何意义
- 导数的物理意义
- 导数的运算
- 基本初等函数的导数公式
- 导数的四则运算法则
- 复合函数的导数
4.2 导数的应用
- 单调性
- 利用导数判断函数的单调性
- 单调区间的求法
- 极值与最值
- 极值的定义与求法
- 最值的求法
- 函数的图像
- 利用导数分析函数的图像特征
- 不等式的证明
- 利用导数证明不等式
- 方程的根与函数的零点
- 利用导数讨论方程根的个数和分布
- 实际问题中的应用
- 优化问题
- 速率问题
五、函数综合应用
- 函数与方程
- 函数的零点与方程的根的关系
- 数形结合思想的应用
- 函数与不等式
- 函数单调性与不等式的关系
- 利用函数解决不等式问题
- 函数与数列
- 数列的通项公式与前n项和公式的函数表示
- 利用函数思想解决数列问题
- 函数与几何
- 函数图像与几何图形的结合
- 利用函数思想解决几何问题
这个思维导图涵盖了高中数学函数的主要内容，包括函数的概念与表示、基本初等函数、三角函数、函数与导数以及函数的综合应用。每个部分都包含了相关的定义、性质、公式以及应用。通过这个导图，可以系统地梳理高中数学函数知识，帮助理解和掌握重点内容。