大学高数思维导图

# 《大学高数思维导图》

## 一、极限与连续

### 1.1 极限的概念

*   **1.1.1 数列极限**
    *   定义：ε-N定义，几何意义
    *   存在性：单调有界准则，夹逼准则
    *   性质：唯一性、有界性、保号性
*   **1.1.2 函数极限**
    *   定义：ε-δ定义，单侧极限
    *   存在性：海涅定理
    *   性质：唯一性、局部有界性、局部保号性
*   **1.1.3 无穷小与无穷大**
    *   定义：无穷小（极限为0），无穷大（绝对值趋于无穷）
    *   关系：互为倒数关系
    *   阶的比较：等价无穷小替换

### 1.2 极限的计算

*   **1.2.1 极限的运算法则**
    *   加减乘除法则
    *   复合函数极限
*   **1.2.2 重要极限**
    *   lim (sinx/x) = 1 (x→0)
    *   lim (1 + 1/x)^x = e (x→∞)
*   **1.2.3 等价无穷小替换**
    *   常见的等价无穷小：sinx ~ x, tanx ~ x, arcsinx ~ x, arctanx ~ x, 1-cosx ~ x^2/2, e^x - 1 ~ x, ln(1+x) ~ x
*   **1.2.4 洛必达法则**
    *   0/0型，∞/∞型，其他类型的转换
    *   注意验证条件
*   **1.2.5 夹逼准则**
*   **1.2.6 单调有界准则**
*   **1.2.7 其他方法**
    *   利用定积分定义
    *   利用级数收敛性

### 1.3 函数的连续性与间断点

*   **1.3.1 连续性的定义**
    *   左连续，右连续
    *   在一点连续
    *   在一个区间上连续
*   **1.3.2 间断点的类型**
    *   第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点
    *   第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点
*   **1.3.3 闭区间上连续函数的性质**
    *   有界性定理
    *   最值定理
    *   介值定理
    *   零点定理

## 二、导数与微分

### 2.1 导数的概念

*   **2.1.1 导数的定义**
    *   单侧导数
    *   几何意义：切线斜率
    *   物理意义：瞬时变化率
*   **2.1.2 可导与连续的关系**
    *   可导必连续，连续不一定可导
*   **2.1.3 导数的计算**
    *   基本求导公式
    *   四则运算
    *   复合函数求导（链式法则）
    *   隐函数求导
    *   参数方程求导
    *   反函数求导
    *   对数求导法

### 2.2 微分的概念

*   **2.2.1 微分的定义**
    *   微分与导数的关系：dy = f'(x)dx
    *   几何意义：切线增量近似函数增量
*   **2.2.2 微分的计算**
    *   基本初等函数微分公式
    *   微分的运算法则

### 2.3 导数的应用

*   **2.3.1 函数单调性**
    *   一阶导数与单调性的关系
    *   求单调区间
*   **2.3.2 函数的极值与最值**
    *   极值点的定义
    *   极值存在的必要条件、充分条件
    *   求极值点、极值
    *   求最值：比较区间端点值和极值
*   **2.3.3 函数的凹凸性与拐点**
    *   二阶导数与凹凸性的关系
    *   拐点的定义
    *   求拐点
*   **2.3.4 曲线的切线与法线**
    *   求切线方程、法线方程
*   **2.3.5 函数的渐近线**
    *   水平渐近线
    *   垂直渐近线
    *   斜渐近线
*   **2.3.6 洛必达法则**
*   **2.3.7 函数图像的描绘**
*   **2.3.8 相关变化率**
*   **2.3.9 不等式的证明**
*   **2.3.10 方程根的个数**

### 2.4 中值定理

*   **2.4.1 罗尔定理**
*   **2.4.2 拉格朗日中值定理**
*   **2.4.3 柯西中值定理**

## 三、不定积分与定积分

### 3.1 不定积分

*   **3.1.1 不定积分的概念**
    *   原函数
    *   不定积分的定义
    *   几何意义：积分曲线族
*   **3.1.2 基本积分公式**
*   **3.1.3 不定积分的性质**
*   **3.1.4 不定积分的计算**
    *   直接积分法
    *   换元积分法（第一类换元、第二类换元）
    *   分部积分法

### 3.2 定积分

*   **3.2.1 定积分的概念**
    *   定义：黎曼和的极限
    *   几何意义：曲边梯形面积的代数和
*   **3.2.2 定积分的性质**
*   **3.2.3 定积分的计算**
    *   牛顿-莱布尼茨公式
    *   换元积分法
    *   分部积分法
*   **3.2.4 反常积分**
    *   无穷区间上的反常积分
    *   无界函数的反常积分

### 3.3 定积分的应用

*   **3.3.1 平面图形的面积**
*   **3.3.2 旋转体的体积**
*   **3.3.3 曲线的弧长**
*   **3.3.4 旋转体的侧面积**
*   **3.3.5 定积分的物理应用**
    *   变力做功
    *   水压力

## 四、多元函数微积分

### 4.1 多元函数的基本概念

*   **4.1.1 多元函数**
    *   定义域
    *   二元函数的几何意义：空间曲面
*   **4.1.2 二元函数的极限与连续**
    *   二重极限
    *   累次极限
*   **4.1.3 偏导数**
    *   定义
    *   几何意义
*   **4.1.4 全微分**
    *   定义
    *   可微的必要条件、充分条件

### 4.2 多元函数的微分法

*   **4.2.1 复合函数求导**
*   **4.2.2 隐函数求导**
*   **4.2.3 高阶偏导数**
*   **4.2.4 空间曲线的切线与法平面**
*   **4.2.5 曲面的切平面与法线**

### 4.3 多元函数的极值

*   **4.3.1 无条件极值**
    *   必要条件、充分条件
*   **4.3.2 条件极值**
    *   拉格朗日乘数法

### 4.4 重积分

*   **4.4.1 二重积分**
    *   定义
    *   几何意义
    *   计算：直角坐标、极坐标
*   **4.4.2 三重积分**
    *   定义
    *   计算：直角坐标、柱面坐标、球面坐标

### 4.5 曲线积分与曲面积分

*   **4.5.1 第一类曲线积分**
    *   定义
    *   计算
*   **4.5.2 第二类曲线积分**
    *   定义
    *   格林公式
*   **4.5.3 第一类曲面积分**
    *   定义
    *   计算
*   **4.5.4 第二类曲面积分**
    *   定义
    *   高斯公式、斯托克斯公式

## 五、无穷级数

### 5.1 数项级数

*   **5.1.1 级数的概念**
    *   部分和
    *   收敛与发散
*   **5.1.2 级数的性质**
*   **5.1.3 正项级数**
    *   比较判别法
    *   比值判别法
    *   根值判别法
    *   积分判别法
*   **5.1.4 交错级数**
    *   莱布尼茨判别法
*   **5.1.5 绝对收敛与条件收敛**

### 5.2 函数项级数

*   **5.2.1 函数项级数及其收敛域**
*   **5.2.2 幂级数**
    *   阿贝尔定理
    *   收敛半径、收敛区间
    *   幂级数的性质：和函数连续、可导、可积
*   **5.2.3 函数的幂级数展开式**
    *   泰勒级数
    *   麦克劳林级数
    *   常用函数的幂级数展开式：e^x, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)^α

### 5.3 傅里叶级数

*   **5.3.1 三角函数系的正交性**
*   **5.3.2 傅里叶级数的概念**
*   **5.3.3 狄利克雷收敛定理**
*   **5.3.4 正弦级数与余弦级数**

《大学高数思维导图》

一、极限与连续

1.1 极限的概念

1.1.1 数列极限
- 定义：ε-N定义，几何意义
- 存在性：单调有界准则，夹逼准则
- 性质：唯一性、有界性、保号性
1.1.2 函数极限
- 定义：ε-δ定义，单侧极限
- 存在性：海涅定理
- 性质：唯一性、局部有界性、局部保号性
1.1.3 无穷小与无穷大
- 定义：无穷小（极限为0），无穷大（绝对值趋于无穷）
- 关系：互为倒数关系
- 阶的比较：等价无穷小替换

1.2 极限的计算

1.2.1 极限的运算法则
- 加减乘除法则
- 复合函数极限
1.2.2 重要极限
- lim (sinx/x) = 1 (x→0)
- lim (1 + 1/x)^x = e (x→∞)
1.2.3 等价无穷小替换
- 常见的等价无穷小：sinx ~ x, tanx ~ x, arcsinx ~ x, arctanx ~ x, 1-cosx ~ x^2/2, e^x - 1 ~ x, ln(1+x) ~ x
1.2.4 洛必达法则
- 0/0型，∞/∞型，其他类型的转换
- 注意验证条件
1.2.5 夹逼准则
1.2.6 单调有界准则
1.2.7 其他方法
- 利用定积分定义
- 利用级数收敛性

1.3 函数的连续性与间断点

1.3.1 连续性的定义
- 左连续，右连续
- 在一点连续
- 在一个区间上连续
1.3.2 间断点的类型
- 第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点
- 第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点
1.3.3 闭区间上连续函数的性质
- 有界性定理
- 最值定理
- 介值定理
- 零点定理

二、导数与微分

2.1 导数的概念

2.1.1 导数的定义
- 单侧导数
- 几何意义：切线斜率
- 物理意义：瞬时变化率
2.1.2 可导与连续的关系
- 可导必连续，连续不一定可导
2.1.3 导数的计算
- 基本求导公式
- 四则运算
- 复合函数求导（链式法则）
- 隐函数求导
- 参数方程求导
- 反函数求导
- 对数求导法

2.2 微分的概念

2.2.1 微分的定义
- 微分与导数的关系：dy = f'(x)dx
- 几何意义：切线增量近似函数增量
2.2.2 微分的计算
- 基本初等函数微分公式
- 微分的运算法则

2.3 导数的应用

2.3.1 函数单调性
- 一阶导数与单调性的关系
- 求单调区间
2.3.2 函数的极值与最值
- 极值点的定义
- 极值存在的必要条件、充分条件
- 求极值点、极值
- 求最值：比较区间端点值和极值
2.3.3 函数的凹凸性与拐点
- 二阶导数与凹凸性的关系
- 拐点的定义
- 求拐点
2.3.4 曲线的切线与法线
- 求切线方程、法线方程
2.3.5 函数的渐近线
- 水平渐近线
- 垂直渐近线
- 斜渐近线
2.3.6 洛必达法则
2.3.7 函数图像的描绘
2.3.8 相关变化率
2.3.9 不等式的证明
2.3.10 方程根的个数

2.4 中值定理

2.4.1 罗尔定理
2.4.2 拉格朗日中值定理
2.4.3 柯西中值定理

三、不定积分与定积分

3.1 不定积分

3.1.1 不定积分的概念
- 原函数
- 不定积分的定义
- 几何意义：积分曲线族
3.1.2 基本积分公式
3.1.3 不定积分的性质
3.1.4 不定积分的计算
- 直接积分法
- 换元积分法（第一类换元、第二类换元）
- 分部积分法

3.2 定积分

3.2.1 定积分的概念
- 定义：黎曼和的极限
- 几何意义：曲边梯形面积的代数和
3.2.2 定积分的性质
3.2.3 定积分的计算
- 牛顿-莱布尼茨公式
- 换元积分法
- 分部积分法
3.2.4 反常积分
- 无穷区间上的反常积分
- 无界函数的反常积分

3.3 定积分的应用

3.3.1 平面图形的面积
3.3.2 旋转体的体积
3.3.3 曲线的弧长
3.3.4 旋转体的侧面积
3.3.5 定积分的物理应用
- 变力做功
- 水压力

四、多元函数微积分

4.1 多元函数的基本概念

4.1.1 多元函数
- 定义域
- 二元函数的几何意义：空间曲面
4.1.2 二元函数的极限与连续
- 二重极限
- 累次极限
4.1.3 偏导数
- 定义
- 几何意义
4.1.4 全微分
- 定义
- 可微的必要条件、充分条件

4.2 多元函数的微分法

4.2.1 复合函数求导
4.2.2 隐函数求导
4.2.3 高阶偏导数
4.2.4 空间曲线的切线与法平面
4.2.5 曲面的切平面与法线

4.3 多元函数的极值

4.3.1 无条件极值
- 必要条件、充分条件
4.3.2 条件极值
- 拉格朗日乘数法

4.4 重积分

4.4.1 二重积分
- 定义
- 几何意义
- 计算：直角坐标、极坐标
4.4.2 三重积分
- 定义
- 计算：直角坐标、柱面坐标、球面坐标

4.5 曲线积分与曲面积分

4.5.1 第一类曲线积分
- 定义
- 计算
4.5.2 第二类曲线积分
- 定义
- 格林公式
4.5.3 第一类曲面积分
- 定义
- 计算
4.5.4 第二类曲面积分
- 定义
- 高斯公式、斯托克斯公式

五、无穷级数

5.1 数项级数

5.1.1 级数的概念
- 部分和
- 收敛与发散
5.1.2 级数的性质
5.1.3 正项级数
- 比较判别法
- 比值判别法
- 根值判别法
- 积分判别法
5.1.4 交错级数
- 莱布尼茨判别法
5.1.5 绝对收敛与条件收敛

5.2 函数项级数

5.2.1 函数项级数及其收敛域
5.2.2 幂级数
- 阿贝尔定理
- 收敛半径、收敛区间
- 幂级数的性质：和函数连续、可导、可积
5.2.3 函数的幂级数展开式
- 泰勒级数
- 麦克劳林级数
- 常用函数的幂级数展开式：e^x, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)^α

5.3 傅里叶级数

5.3.1 三角函数系的正交性
5.3.2 傅里叶级数的概念
5.3.3 狄利克雷收敛定理
5.3.4 正弦级数与余弦级数

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