高中导数思维导图

# 《高中导数思维导图》

## 一、 导数概念与几何意义

### 1.1 导数的定义

*   **1.1.1 平均变化率:**
    *   定义： 函数 $y=f(x)$ 在 $[x_0, x_0 + \Delta x]$ 上的平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.
    *   几何意义： 表示曲线上两点连线的斜率。
*   **1.1.2 瞬时变化率 (导数):**
    *   定义：当 $\Delta x \to 0$ 时，平均变化率的极限，记作 $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.
    *   记号： $y'|_{x=x_0}$,  $\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$.
    *   可导： 函数在点 $x_0$ 处存在导数。
    *   导函数： $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.

### 1.2 导数的几何意义

*   **1.2.1 切线斜率:**
    *   函数 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率为 $f'(x_0)$.
*   **1.2.2 切线方程:**
    *   切线方程为 $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.
*   **1.2.3 法线方程 (若存在):**
    *   法线斜率为 $-\frac{1}{f'(x_0)}$ (当 $f'(x_0) \neq 0$ 时).
    *   法线方程为 $y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$.

## 二、 基本初等函数的导数

### 2.1 常用导数公式

*   **2.1.1 常数函数:** $(C)' = 0$.
*   **2.1.2 幂函数:** $(x^n)' = nx^{n-1}$ (n为实数).
*   **2.1.3 指数函数:** $(a^x)' = a^x \ln a$,  $(e^x)' = e^x$.
*   **2.1.4 对数函数:** $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
*   **2.1.5 三角函数:**
    *   $(\sin x)' = \cos x$.
    *   $(\cos x)' = -\sin x$.
    *   $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$.
    *   $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$.

## 三、 导数的运算法则

### 3.1 四则运算法则

*   **3.1.1 和差:** $[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$.
*   **3.1.2 积:** $[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
*   **3.1.3 商:** $[\frac{u(x)}{v(x)}]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$  (其中 $v(x) \neq 0$).

### 3.2 复合函数求导

*   **3.2.1 链式法则:**  $y = f(u), u = g(x)$, 则 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.

## 四、 导数的应用

### 4.1 函数的单调性

*   **4.1.1 判定方法:**
    *   $f'(x) > 0$ 在区间 (a, b) 上恒成立，则 $f(x)$ 在 (a, b) 上单调递增。
    *   $f'(x) < 0$ 在区间 (a, b) 上恒成立，则 $f(x)$ 在 (a, b) 上单调递减。
    *   $f'(x) \geq 0$ 在区间 (a, b) 上恒成立，则 $f(x)$ 在 (a, b) 上单调递增（可有有限个孤立点 $f'(x) = 0$）。
    *   $f'(x) \leq 0$ 在区间 (a, b) 上恒成立，则 $f(x)$ 在 (a, b) 上单调递减（可有有限个孤立点 $f'(x) = 0$）。
*   **4.1.2 应用:**
    *   求函数的单调区间。
    *   证明函数的单调性。
    *   比较函数值的大小。

### 4.2 函数的极值与最值

*   **4.2.1 极值:**
    *   极值点：导数为0或不存在的点。
    *   极值判定：
        *   若 $f'(x_0) = 0$，且在 $x_0$ 附近，$f'(x)$ 左侧为正，右侧为负，则 $f(x_0)$ 为极大值。
        *   若 $f'(x_0) = 0$，且在 $x_0$ 附近，$f'(x)$ 左侧为负，右侧为正，则 $f(x_0)$ 为极小值。
    *   $f'(x_0)$不存在时，如果 $x_0$ 左右两侧的导数异号，则 $f(x_0)$ 为极值点，判断方法同上。
*   **4.2.2 最值:**
    *   求法：
        *   求出函数在闭区间 [a, b] 上的所有极值。
        *   计算函数在端点 a, b 的值。
        *   比较所有极值和端点值，最大的为最大值，最小的为最小值。
*   **4.2.3 应用:**
    *   优化问题：利润最大化、成本最小化等。

### 4.3 不等式证明

*   **4.3.1 构造函数法:**
    *   将不等式转化为 $f(x) > 0$ 或 $f(x) < 0$ 的形式。
    *   求出 $f(x)$ 的单调性或最值。
    *   根据单调性或最值证明不等式。
*   **4.3.2 利用导数研究不等式:**
    *  利用导数判断函数的单调性，从而判断不等式是否成立。
    *  利用导数求函数的最值，进而证明不等式。
*   **4.3.3 泰勒展开:** 利用泰勒展开式近似函数，进行不等式证明。

### 4.4 方程的根与函数的零点

*   **4.4.1 根的存在性:**
    *   零点存在性定理：若 $f(a)f(b) < 0$，则在 (a, b) 内至少存在一个零点。
*   **4.4.2 根的个数:**
    *   求导，研究函数的单调性。
    *   绘制函数图像。
    *   根据图像判断根的个数。
*   **4.4.3 应用：**
    *   判断方程根的存在性。
    *   确定方程根的个数。

## 五、 高阶导数 (了解)

### 5.1 二阶导数的定义

*   **5.1.1 定义:** 一阶导数的导数，记作 $f''(x)$ 或 $y''$.
*   **5.1.2 意义:**  描述函数变化速度的变化快慢。
    *   $f''(x) > 0$：函数图像向下凸。
    *   $f''(x) < 0$：函数图像向上凸。

## 六、 注意事项

*   **6.1 可导与连续的关系:** 可导必连续，连续不一定可导。
*   **6.2 导数不存在的情况:**
    *   函数在该点不连续。
    *   函数在该点的切线垂直于 x 轴。
    *   函数在该点左右导数不相等。
*   **6.3 导数符号的理解：**  正负号代表函数增减性。数值大小代表变化快慢。
*   **6.4 答题规范：**  注意步骤的完整性，结论的准确性。

《高中导数思维导图》

一、导数概念与几何意义

1.1 导数的定义

1.1.1 平均变化率:
- 定义：函数 $y=f(x)$ 在 $[x_0, x_0 + \Delta x]$ 上的平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.
- 几何意义：表示曲线上两点连线的斜率。
1.1.2 瞬时变化率 (导数):
- 定义：当 $\Delta x \to 0$ 时，平均变化率的极限，记作 $f'(x0) = \lim{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.
- 记号： $y'|_{x=x0}$, $\frac{dy}{dx}|{x=x_0}$.
- 可导：函数在点 $x_0$ 处存在导数。
- 导函数： $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.

1.2 导数的几何意义

1.2.1 切线斜率:
- 函数 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率为 $f'(x_0)$.
1.2.2 切线方程:
- 切线方程为 $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.
1.2.3 法线方程 (若存在):
- 法线斜率为 $-\frac{1}{f'(x_0)}$ (当 $f'(x_0) \neq 0$ 时).
- 法线方程为 $y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$.

二、基本初等函数的导数

2.1 常用导数公式

2.1.1 常数函数: $(C)' = 0$.
2.1.2 幂函数: $(x^n)' = nx^{n-1}$ (n为实数).
2.1.3 指数函数: $(a^x)' = a^x \ln a$, $(e^x)' = e^x$.
2.1.4 对数函数: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
2.1.5 三角函数:
- $(\sin x)' = \cos x$.
- $(\cos x)' = -\sin x$.
- $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$.
- $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$.

三、导数的运算法则

3.1 四则运算法则

3.1.1 和差: $[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$.
3.1.2 积: $[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
3.1.3 商: $[\frac{u(x)}{v(x)}]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$ (其中 $v(x) \neq 0$).

3.2 复合函数求导

3.2.1 链式法则: $y = f(u), u = g(x)$, 则 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.

四、导数的应用

4.1 函数的单调性

4.1.1 判定方法:
- $f'(x) > 0$ 在区间 (a, b) 上恒成立，则 $f(x)$ 在 (a, b) 上单调递增。
- $f'(x) < 0$ 在区间 (a, b) 上恒成立，则 $f(x)$ 在 (a, b) 上单调递减。
- $f'(x) \geq 0$ 在区间 (a, b) 上恒成立，则 $f(x)$ 在 (a, b) 上单调递增（可有有限个孤立点 $f'(x) = 0$）。
- $f'(x) \leq 0$ 在区间 (a, b) 上恒成立，则 $f(x)$ 在 (a, b) 上单调递减（可有有限个孤立点 $f'(x) = 0$）。
4.1.2 应用:
- 求函数的单调区间。
- 证明函数的单调性。
- 比较函数值的大小。

4.2 函数的极值与最值

4.2.1 极值:
- 极值点：导数为0或不存在的点。
- 极值判定：
  - 若 $f'(x_0) = 0$，且在 $x_0$ 附近，$f'(x)$ 左侧为正，右侧为负，则 $f(x_0)$ 为极大值。
  - 若 $f'(x_0) = 0$，且在 $x_0$ 附近，$f'(x)$ 左侧为负，右侧为正，则 $f(x_0)$ 为极小值。
- $f'(x_0)$不存在时，如果 $x_0$ 左右两侧的导数异号，则 $f(x_0)$ 为极值点，判断方法同上。
4.2.2 最值:
- 求法：
  - 求出函数在闭区间 [a, b] 上的所有极值。
  - 计算函数在端点 a, b 的值。
  - 比较所有极值和端点值，最大的为最大值，最小的为最小值。
4.2.3 应用:
- 优化问题：利润最大化、成本最小化等。

4.3 不等式证明

4.3.1 构造函数法:
- 将不等式转化为 $f(x) > 0$ 或 $f(x) < 0$ 的形式。
- 求出 $f(x)$ 的单调性或最值。
- 根据单调性或最值证明不等式。
4.3.2 利用导数研究不等式:
- 利用导数判断函数的单调性，从而判断不等式是否成立。
- 利用导数求函数的最值，进而证明不等式。
4.3.3 泰勒展开: 利用泰勒展开式近似函数，进行不等式证明。

4.4 方程的根与函数的零点

4.4.1 根的存在性:
- 零点存在性定理：若 $f(a)f(b) < 0$，则在 (a, b) 内至少存在一个零点。
4.4.2 根的个数:
- 求导，研究函数的单调性。
- 绘制函数图像。
- 根据图像判断根的个数。
4.4.3 应用：
- 判断方程根的存在性。
- 确定方程根的个数。

五、高阶导数 (了解)

5.1 二阶导数的定义

5.1.1 定义: 一阶导数的导数，记作 $f''(x)$ 或 $y''$.
5.1.2 意义: 描述函数变化速度的变化快慢。
- $f''(x) > 0$：函数图像向下凸。
- $f''(x) < 0$：函数图像向上凸。

六、注意事项

6.1 可导与连续的关系: 可导必连续，连续不一定可导。
6.2 导数不存在的情况:
- 函数在该点不连续。
- 函数在该点的切线垂直于 x 轴。
- 函数在该点左右导数不相等。
6.3 导数符号的理解： 正负号代表函数增减性。数值大小代表变化快慢。
6.4 答题规范： 注意步骤的完整性，结论的准确性。

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