《导数思维导图高中》

一、导数概念与几何意义

1.1 导数的定义

• 1.1.1 平均变化率：
  • 定义：函数 $y=f(x)$ 在 $[x_0, x_0 + \Delta x]$ 上的平均变化率为 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
  • 几何意义：连接 $(x_0, f(x_0))$ 和 $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$ 两点的割线的斜率。
• 1.1.2 导数：
  • 定义：当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的极限存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，记为 $f'(x0) = \lim{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。
  • 导函数：函数 $f(x)$ 在其定义域内每一点都可导，则称其导函数为 $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$。

1.2 导数的几何意义

• 1.2.1 切线：
  • 意义：$f'(x_0)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线的斜率。
  • 切线方程：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$
• 1.2.2 法线：
  • 定义：过切点且与切线垂直的直线。
  • 法线斜率：如果 $f'(x_0) \neq 0$，则法线斜率为 $-\frac{1}{f'(x_0)}$
  • 法线方程：$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$

1.3 函数的可导性与连续性

• 1.3.1 可导必连续： 若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。
• 1.3.2 连续不一定可导： 例如 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处连续，但不可导。

二、基本初等函数的导数公式

2.1 常见函数的导数

• 2.1.1 常数函数： $f(x) = C$, $f'(x) = 0$
• 2.1.2 幂函数： $f(x) = x^n$, $f'(x) = nx^{n-1}$ (n ∈ R)
• 2.1.3 指数函数：
  • $f(x) = a^x$, $f'(x) = a^x \ln a$ (a > 0, a ≠ 1)
  • $f(x) = e^x$, $f'(x) = e^x$
• 2.1.4 对数函数：
  • $f(x) = \log_a x$, $f'(x) = \frac{1}{x \ln a}$ (a > 0, a ≠ 1)
  • $f(x) = \ln x$, $f'(x) = \frac{1}{x}$
• 2.1.5 三角函数：
  • $f(x) = \sin x$, $f'(x) = \cos x$
  • $f(x) = \cos x$, $f'(x) = -\sin x$
  • $f(x) = \tan x$, $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$
  • $f(x) = \cot x$, $f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

三、导数的运算法则

3.1 和、差、积、商的导数

• 3.1.1 和差： $[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$
• 3.1.2 积： $[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$
• 3.1.3 商： $[\frac{u(x)}{v(x)}]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}$ (v(x) ≠ 0)

3.2 复合函数的导数

• 3.2.1 链式法则： 若 $y = f(u)$, $u = g(x)$，则 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$，即 $y'_x = f'(u) \cdot g'(x)$

四、导数的应用

4.1 函数的单调性

• 4.1.1 判定：
  • 若 $f'(x) > 0$ 在区间 $(a, b)$ 上恒成立，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调递增。
  • 若 $f'(x) < 0$ 在区间 $(a, b)$ 上恒成立，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调递减。
• 4.1.2 注意事项：
  • $f'(x) \geq 0$ 是 $f(x)$ 单调递增的充分不必要条件。
  • $f'(x) \leq 0$ 是 $f(x)$ 单调递减的充分不必要条件。

4.2 函数的极值与最值

• 4.2.1 极值：
  • 定义：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近的某邻域内，如果对该邻域内的任何 $x \neq x_0$，都有 $f(x) > f(x_0)$ (或 $f(x) < f(x_0)$)，则称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的极小值 (或极大值)， $x_0$ 称为极小值点 (或极大值点)。
  • 求法：
    1. 求 $f'(x)$。
    2. 解方程 $f'(x) = 0$，求出所有根。
    3. 检验：
       • 若 $f'(x_0) = 0$，且 $x_0$ 左侧 $f'(x) > 0$，右侧 $f'(x) < 0$，则 $f(x_0)$ 是极大值。
       • 若 $f'(x_0) = 0$，且 $x_0$ 左侧 $f'(x) < 0$，右侧 $f'(x) > 0$，则 $f(x_0)$ 是极小值。
• 4.2.2 最值：
  • 求法：
    1. 求 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的所有极值。
    2. 计算 $f(a)$ 和 $f(b)$。
    3. 比较所有极值和 $f(a)$、$f(b)$ 的大小，其中最大的为最大值，最小的为最小值。

4.3 函数的零点

• 4.3.1 利用导数判断零点个数：
  • 求 $f'(x)$，确定函数的单调区间。
  • 结合函数的单调性，极值等信息，画出函数的大致图像。
  • 观察图像与 x 轴的交点个数，即为零点个数。

4.4 导数在不等式中的应用

• 4.4.1 构造函数法：
  • 将不等式变形为 $f(x) > 0$ 或 $f(x) < 0$ 的形式。
  • 构造函数 $f(x)$。
  • 利用导数分析 $f(x)$ 的单调性或最值。
  • 根据 $f(x)$ 的单调性或最值，证明不等式。

4.5 导数在实际问题中的应用

• 4.5.1 优化问题：
  • 建立函数模型。
  • 求导数，确定函数的单调性或最值。
  • 根据实际问题，求出最优解。