《导数的思维导图》

一、导数的定义与几何意义

1.1 导数的定义

• 1.1.1 定义式：
  • $f'(x0) = \lim{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
  • $f'(x0) = \lim{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
• 1.1.2 理解：
  • 自变量改变量趋近于0时，函数改变量与自变量改变量之比的极限。
  • 某点处的瞬时变化率。

1.2 导数的几何意义

• 1.2.1 切线斜率：
  • 导数$f'(x_0)$表示曲线$y = f(x)$在点$(x_0, f(x_0))$处的切线斜率。
• 1.2.2 切线方程：
  • $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

1.3 可导与连续的关系

• 1.3.1 可导必连续：
  • 函数在某点可导，则该点必连续。
• 1.3.2 连续不一定可导：
  • 如：$f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处连续，但不可导 (存在尖角)。

二、导数的计算

2.1 基本初等函数的导数

• 2.1.1 常数函数： $(C)' = 0$
• 2.1.2 幂函数： $(x^n)' = nx^{n-1}$ (n为实数)
• 2.1.3 指数函数： $(a^x)' = a^x \ln a$， 特别地，$(e^x)' = e^x$
• 2.1.4 对数函数： $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$， 特别地，$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
• 2.1.5 三角函数：
  • $(\sin x)' = \cos x$
  • $(\cos x)' = -\sin x$
  • $(\tan x)' = \sec^2 x$
  • $(\cot x)' = -\csc^2 x$

2.2 导数的运算法则

• 2.2.1 和差法则： $[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$
• 2.2.2 积法则： $[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$
• 2.2.3 商法则： $[\frac{u(x)}{v(x)}]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

2.3 复合函数的导数

• 2.3.1 链式法则：
  • 设 $y = f(u)$, $u = g(x)$， 则 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ (即 $y' = f'(u) \cdot g'(x)$)
• 2.3.2 应用： 关键是识别复合函数的结构，从外向内逐层求导。

三、导数的应用

3.1 函数的单调性

• 3.1.1 判断方法：
  • $f'(x) > 0$ => $f(x)$ 在该区间上单调递增
  • $f'(x) < 0$ => $f(x)$ 在该区间上单调递减
  • $f'(x) = 0$ => $f(x)$ 在该区间上为常数
• 3.1.2 注意： 导数等于零的点可能是极值点，也可能不是。
• 3.1.3 单调区间： 解不等式 $f'(x) > 0$ 或 $f'(x) < 0$ 得到。

3.2 函数的极值与最值

• 3.2.1 极值：
  • 定义： 函数在某点附近（局部）取得最大值或最小值。
  • 必要条件： $f'(x_0) = 0$ (驻点)
  • 充分条件：
    • 若 $f'(x_0) = 0$，且在 $x_0$ 附近，$f'(x)$ 的符号发生变化，则 $x_0$ 为极值点。
    • 若 $f''(x_0) > 0$，则 $x_0$ 为极小值点；若 $f''(x_0) < 0$，则 $x_0$ 为极大值点。
• 3.2.2 最值：
  • 定义： 函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。
  • 求法：
    • 求出定义域内的所有极值点。
    • 求出端点处的函数值。
    • 比较所有极值和端点值，最大的为最大值，最小的为最小值。
• 3.2.3 应用： 解决实际问题中的最大值、最小值问题。

3.3 曲线的凹凸性与拐点

• 3.3.1 凹凸性：
  • 定义： 描述曲线的弯曲方向。
  • 判断方法：
    • $f''(x) > 0$ => $f(x)$在该区间上是凹的 (下凹)
    • $f''(x) < 0$ => $f(x)$在该区间上是凸的 (上凸)
• 3.3.2 拐点：
  • 定义： 曲线凹凸性发生改变的点。
  • 求法：
    • 求出 $f''(x) = 0$ 的解。
    • 验证该解附近 $f''(x)$ 的符号是否发生改变。
• 3.3.3 应用： 更精确地描绘函数图像。

3.4 导数在不等式中的应用

• 3.4.1 构造函数：
  • 根据不等式的结构，构造合适的函数。
• 3.4.2 利用单调性：
  • 证明函数在某区间单调递增/递减，从而得到函数值的大小关系。
• 3.4.3 利用最值：
  • 求出函数在某区间的最值，从而证明不等式恒成立。
• 3.4.4 放缩法：
  • 利用导数进行适当的放缩，简化问题。

四、 微分

4.1 微分的定义

• 4.1.1 定义式： $\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$ (其中A与$\Delta x$无关)
• 4.1.2 dy = f'(x)dx (其中dx是自变量的微分，等于 $\Delta x$ )
• 4.1.3 理解： 函数改变量的线性主要部分。

4.2 微分的几何意义

• 4.2.1 切线近似： 微分是切线上的改变量，近似于函数本身的改变量。

4.3 微分的计算

• 4.3.1 直接利用 dy = f'(x)dx 计算。

4.4 微分的应用

• 4.4.1 近似计算： 当 $\Delta x$ 足够小时，$\Delta y \approx dy$ , 可以用于近似计算。

五、高阶导数

5.1 定义

• 5.1.1 一阶导数： $f'(x)$
• 5.1.2 二阶导数： $f''(x) = (f'(x))'$
• 5.1.3 n阶导数： $f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'$
• 5.1.4 意义： 二阶导数可以描述函数变化速度的变化快慢，与曲线的凹凸性相关。

5.2 计算

• 5.2.1 逐阶求导： 依次求一阶、二阶、...、n阶导数。
• 5.2.2 特殊函数的n阶导数公式： 某些函数存在通项公式，可以直接使用。 例如 $(e^x)^{(n)} = e^x$ ， $(\sin x)^{(n)}$ 等。