《整数的思维导图》

一、整数的概念

1. 定义

• 包括正整数、零和负整数。
• 是无小数部分的数。

2. 符号表示

• Z (Zahl的缩写，德语“数”的意思)。

3. 数轴表示

• 可以在数轴上找到对应位置。
• 正整数位于零的右侧，负整数位于零的左侧，零位于中间。

二、整数的分类

1. 按性质分

1.1 正整数

• 大于零的整数（1, 2, 3, ...）。
• 可以用来计数。

1.2 零

• 既不是正整数，也不是负整数。
• 是正数和负数的分界点。
• 表示“没有”或“空”。

1.3 负整数

• 小于零的整数（-1, -2, -3, ...）。
• 通常表示与正数相反的意义，如亏损、低于标准等。

2. 按能否被2整除分

2.1 偶数

• 能被2整除的整数。
• 可以用2k表示（k为整数）。
• 例如：-4, -2, 0, 2, 4, ...

2.2 奇数

• 不能被2整除的整数。
• 可以用2k+1表示（k为整数）。
• 例如：-3, -1, 1, 3, 5, ...

三、整数的运算

1. 加法

1.1 运算法则

• 同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
• 异号相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
• 任何数与零相加，仍得这个数。

1.2 运算律

• 交换律：a + b = b + a
• 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

2. 减法

2.1 运算法则

• 减去一个数等于加上这个数的相反数。
• a - b = a + (-b)

3. 乘法

3.1 运算法则

• 同号相乘得正，异号相乘得负，并把绝对值相乘。
• 任何数与零相乘都得零。

3.2 运算律

• 交换律：a b = b a
• 结合律：(a b) c = a (b c)
• 分配律：a (b + c) = a b + a * c

4. 除法

4.1 运算法则

• 同号相除得正，异号相除得负，并把绝对值相除。
• 零除以任何非零数都得零。
• 除数不能为零。

5. 乘方

5.1 定义

• 求n个相同因数乘积的运算。
• aⁿ 表示 n 个 a 相乘。

5.2 符号法则

• 正数的任何次幂都是正数。
• 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

四、整数的大小比较

1. 数轴法

• 在数轴上，右边的数总比左边的数大。

2. 规则法

• 正整数大于零，零大于负整数，正整数大于负整数。
• 两个负整数比较大小，绝对值大的反而小。

五、整数的应用

1. 计数

• 日常生活中的数量统计。

2. 表示方向

• 例如，+5 表示向东走 5 米，-3 表示向西走 3 米。

3. 表示温度

• 例如，+25℃ 表示零上 25 摄氏度，-5℃ 表示零下 5 摄氏度。

4. 盈亏

• 例如，+100 元表示盈利 100 元，-50 元表示亏损 50 元。

5. 数学建模

• 构建数学模型解决实际问题。

六、特殊整数

1. 质数 (素数)

• 只有 1 和本身两个正因数的自然数。
• 例如：2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

2. 合数

• 除了 1 和本身，还有其他正因数的自然数。
• 例如：4, 6, 8, 9, 10, 12, ...

3. 1

• 既不是质数，也不是合数。
• 是任何数的因数。

七、整数的扩展

1. 有理数

• 可以表示成分数形式的数（a/b，其中 a 和 b 都是整数，且 b ≠ 0）。
• 包括整数和分数。

2. 实数

• 包括有理数和无理数。
• 可以在数轴上表示。

3. 复数

• 形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位（i² = -1）。
• 实数是复数的一部分。

八、整数与程序设计

1. 数据类型

• int (整型)
• long (长整型)
• short (短整型)

2. 运算

• 在程序中进行整数的各种运算，如加减乘除、取模等。

3. 应用

• 计数器、索引、循环控制等。

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