《数学思维导图高三》

一、集合与常用逻辑用语

1. 集合

1.1. 集合的概念与表示

• 集合的概念： 元素、互异性、无序性
• 集合的表示方法：
  • 列举法
  • 描述法
  • Venn图
• 常用数集：
  • 自然数集N
  • 正整数集N*或N+
  • 整数集Z
  • 有理数集Q
  • 实数集R

1.2. 集合间的基本关系

• 子集： A⊆B (A的元素都是B的元素)
• 真子集： A⊂B (A⊆B且A≠B)
• 空集： Ø (不含任何元素的集合)
• 集合相等： A=B (A⊆B且B⊆A)
• 子集个数： 若集合A有n个元素，则A的子集有2^n个，真子集有2^n-1个

1.3. 集合的基本运算

• 并集： A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
• 交集： A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
• 补集： ∁UA = {x | x∈U 且 x∉A} (U为全集)

2. 常用逻辑用语

2.1. 命题及其关系

• 命题： 可以判断真假的语句
• 简单命题与复合命题
• 四种命题形式：
  • 原命题：若p，则q
  • 逆命题：若q，则p
  • 否命题：若¬p，则¬q
  • 逆否命题：若¬q，则¬p
• 互为逆否的命题等价

2.2. 充分条件与必要条件

• 充分条件： p => q (p是q的充分条件)
• 必要条件： q => p (p是q的必要条件)
• 充要条件： p <=> q (p是q的充要条件)

2.3. 全称量词与存在量词

• 全称量词： ∀ (任意，所有)
• 全称命题： ∀x∈M, p(x)
• 全称命题的否定： ∃x∈M, ¬p(x)
• 存在量词： ∃ (存在，至少有一个)
• 存在命题： ∃x∈M, p(x)
• 存在命题的否定： ∀x∈M, ¬p(x)

二、函数与导数

1. 函数

1.1. 函数的概念与表示

• 函数的定义： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作： y=f(x)，x∈A。
• 函数的表示方法：
  • 解析式法
  • 图像法
  • 列表法
• 函数的定义域、值域
• 分段函数

1.2. 函数的性质

• 单调性：
  • 单调递增
  • 单调递减
• 奇偶性：
  • 奇函数：f(-x) = -f(x)
  • 偶函数：f(-x) = f(x)
• 周期性： f(x+T) = f(x)
• 对称性：
  • 关于点对称：f(x)+f(2a-x)=2b
  • 关于直线对称：f(a+x) = f(a-x)

1.3. 常见函数

• 一次函数
• 二次函数
• 反比例函数
• 指数函数： y=a^x (a>0, a≠1)
• 对数函数： y=log_a(x) (a>0, a≠1)
• 幂函数： y=x^α

2. 导数

2.1. 导数的概念

• 导数的定义： f'(x0) = lim (Δx→0) [f(x0+Δx) - f(x0)] / Δx
• 几何意义： 切线的斜率
• 物理意义： 瞬时速度

2.2. 导数的运算

• 基本求导公式
• 导数的运算法则：
  • (u ± v)' = u' ± v'
  • (cu)' = cu'
  • (uv)' = u'v + uv'
  • (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

2.3. 导数的应用

• 单调性： f'(x) > 0 => 单调递增; f'(x) < 0 => 单调递减
• 极值与最值：
  • 极值点：f'(x) = 0 的点
  • 最值：比较极值点和端点处函数值
• 曲线的切线： y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)
• 函数零点个数的判断

三、三角函数与平面向量

1. 三角函数

1.1. 三角函数的概念

• 角的概念： 正角、负角、零角
• 弧度制： 180° = π
• 任意角的三角函数定义： sinα = y/r, cosα = x/r, tanα = y/x
• 三角函数线

1.2. 三角函数的图像与性质

• 正弦函数： y=sin x
• 余弦函数： y=cos x
• 正切函数： y=tan x
• 周期性、奇偶性、单调性、最值

1.3. 三角恒等变换

• 同角三角函数的关系
• 诱导公式
• 和角公式与差角公式
• 二倍角公式
• 辅助角公式： asin x + bcos x = √(a^2+b^2) sin(x+φ)

1.4. 解三角形

• 正弦定理： a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
• 余弦定理： a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA
• 三角形面积公式： S = 1/2 bc sinA

2. 平面向量

2.1. 平面向量的概念

• 向量： 有大小和方向的量
• 零向量、单位向量
• 平行向量（共线向量）
• 相等向量

2.2. 平面向量的线性运算

• 向量的加法与减法
• 数乘向量
• 向量的坐标表示
• 向量共线的坐标表示： x1y2 - x2y1 = 0

2.3. 平面向量的数量积

• 数量积的定义： a·b = |a| |b| cosθ
• 数量积的坐标表示： a·b = x1x2 + y1y2
• 数量积的几何意义
• 向量垂直的坐标表示： x1x2 + y1y2 = 0

四、数列

1. 数列的概念

• 数列的定义
• 通项公式： a_n = f(n)
• 递推公式

2. 等差数列

2.1. 定义与通项公式

• 等差数列的定义： an - a(n-1) = d (常数)
• 通项公式： a_n = a_1 + (n-1)d

2.2. 前n项和公式

• 前n项和公式： S_n = n(a_1 + a_n)/2 = na_1 + n(n-1)d/2

2.3. 性质

• 若m+n = p+q，则 a_m + a_n = a_p + a_q

3. 等比数列

3.1. 定义与通项公式

• 等比数列的定义： an / a(n-1) = q (常数)
• 通项公式： a_n = a_1 * q^(n-1)

3.2. 前n项和公式

• 前n项和公式： S_n = a_1(1-q^n)/(1-q) (q≠1)

3.3. 性质

• 若m+n = p+q，则 a_m a_n = a_p a_q

4. 数列的综合应用

• 求数列的通项公式
• 求数列的前n项和
• 数列的综合问题

五、不等式

1. 不等式的性质

• 基本性质
• 重要不等式： a^2 + b^2 ≥ 2ab
• 基本不等式： a+b ≥ 2√(ab) (a>0, b>0)

2. 一元二次不等式

• 解法： 穿根法

3. 线性规划

• 可行域
• 目标函数
• 最优解

4. 基本不等式的应用

• 求最值
• 注意： 一正、二定、三相等

六、立体几何

1. 空间几何体的结构

• 柱体： 直棱柱、斜棱柱
• 锥体： 正棱锥、斜棱锥
• 台体： 正棱台、斜棱台
• 球体

2. 空间几何体的三视图和直观图

• 三视图： 主视图、侧视图、俯视图
• 直观图： 斜二测画法

3. 空间几何体的表面积和体积

• 柱体、锥体、台体、球体表面积和体积公式

4. 空间点、直线、平面之间的位置关系

• 公理
• 定理

5. 直线与平面平行、垂直的判定及性质

• 判定定理
• 性质定理

6. 平面与平面平行、垂直的判定及性质

• 判定定理
• 性质定理

7. 空间角

• 异面直线所成的角
• 直线与平面所成的角
• 二面角

8. 空间向量与立体几何

• 空间向量的坐标表示
• 空间向量的数量积
• 利用空间向量解决立体几何问题

七、解析几何

1. 直线与圆

1.1. 直线的方程

• 点斜式
• 斜截式
• 两点式
• 截距式
• 一般式

1.2. 两条直线的位置关系

• 平行
• 垂直
• 相交

1.3. 圆的方程

• 标准方程
• 一般方程

1.4. 直线与圆的位置关系

• 相交
• 相切
• 相离

2. 圆锥曲线

2.1. 椭圆

• 定义
• 标准方程
• 几何性质： a, b, c, e

2.2. 双曲线

• 定义
• 标准方程
• 几何性质： a, b, c, e, 渐近线

2.3. 抛物线

• 定义
• 标准方程
• 几何性质： p

2.4. 直线与圆锥曲线的位置关系

• 联立方程组，判断Δ

八、概率与统计

1. 概率

1.1. 随机事件与概率

• 随机事件
• 概率的定义

1.2. 古典概型

• 公式

1.3. 互斥事件与对立事件

• 互斥事件： A∩B = Ø
• 对立事件： A∪B = Ω, A∩B = Ø

1.4. 独立事件

• 独立事件

1.5. 离散型随机变量及其分布

• 离散型随机变量
• 分布列
• 期望与方差

2. 统计

2.1. 抽样方法

• 简单随机抽样
• 系统抽样
• 分层抽样

2.2. 频率分布直方图

• 频率分布直方图
• 平均数
• 众数
• 中位数

2.3. 线性回归

• 回归方程
• 最小二乘法

2.4. 独立性检验

• 卡方检验

九、算法初步

1. 算法的概念

• 算法的定义
• 算法的特征

2. 程序框图

• 顺序结构
• 条件结构
• 循环结构

3. 基本算法语句

• 赋值语句
• 输入输出语句
• 条件语句
• 循环语句

十、复数

1. 复数的概念

• 复数的定义： z = a + bi (a, b ∈ R)
• 实部、虚部
• 纯虚数
• 复数相等

2. 复数的运算

• 加法
• 减法
• 乘法
• 除法

3. 复数的几何意义

• 复平面
• 复数的模

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