《高三数学思维导图》

一、集合与常用逻辑用语

1. 集合

1.1 集合的概念与表示

• 概念： 具有共同属性的确定的对象的总体
• 表示方法：
  • 列举法
  • 描述法
  • Venn图
• 元素特征：
  • 确定性
  • 互异性
  • 无序性

1.2 集合间的关系

• 子集： A ⊆ B (所有A的元素都是B的元素)
• 真子集： A ⊂ B (A是B的子集，且A ≠ B)
• 相等： A = B (A ⊆ B 且 B ⊆ A)
• 空集： ∅ (不含任何元素的集合，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集)

1.3 集合的运算

• 并集： A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
• 交集： A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
• 补集： ∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A} (U为全集)

2. 常用逻辑用语

2.1 命题及其关系

• 命题： 能判断真假的语句
• 命题的构成：
  • 原命题
  • 逆命题
  • 否命题
  • 逆否命题
• 四种命题的关系：
  • 原命题与逆否命题同真同假
  • 逆命题与否命题同真同假

2.2 充分条件与必要条件

• 充分条件： p ⇒ q (p是q的充分条件，p能推出q)
• 必要条件： q ⇒ p (p是q的必要条件，q才能推出p)
• 充要条件： p ⇔ q (p是q的充要条件，p能推出q且q能推出p)

2.3 逻辑联结词

• 或 (∨)： p ∨ q (p或q，有一个真则为真，都假才假)
• 且 (∧)： p ∧ q (p且q，都真才真，有一个假就假)
• 非 (¬)： ¬p (p的否定，真变假，假变真)

2.4 全称量词与存在量词

• 全称量词： ∀ (对于任意一个)
  • 全称命题： ∀x ∈ A, p(x)
• 存在量词： ∃ (存在一个)
  • 特称命题： ∃x ∈ A, p(x)
• 全称命题的否定： ¬(∀x ∈ A, p(x)) ≡ ∃x ∈ A, ¬p(x)
• 特称命题的否定： ¬(∃x ∈ A, p(x)) ≡ ∀x ∈ A, ¬p(x)

二、函数与导数

1. 函数的概念与性质

1.1 函数的概念

• 定义： 两个变量之间的对应关系
• 三要素：
  • 定义域
  • 对应关系
  • 值域
• 表示方法：
  • 解析式法
  • 图像法
  • 列表法

1.2 函数的性质

• 单调性：
  • 增函数
  • 减函数
• 奇偶性：
  • 奇函数 (f(-x) = -f(x))
  • 偶函数 (f(-x) = f(x))
• 周期性： f(x+T) = f(x) (T为周期)
• 对称性： 关于点对称，关于直线对称

1.3 基本初等函数

• 指数函数： y = a^x (a > 0 且 a ≠ 1)
• 对数函数： y = logax (a > 0 且 a ≠ 1)
• 幂函数： y = x^α (α ∈ R)
• 三角函数： y = sinx, y = cosx, y = tanx
• 常数函数： y = c

1.4 函数的图像

• 图像变换：
  • 平移变换
  • 伸缩变换
  • 对称变换
• 数形结合： 利用图像解决问题

2. 导数及其应用

2.1 导数的概念

• 导数的定义： f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx
• 几何意义： 切线的斜率
• 物理意义： 瞬时速度

2.2 导数的运算

• 基本求导公式： (c)' = 0, (x^n)' = nx^(n-1), (sinx)' = cosx, (cosx)' = -sinx, (e^x)' = e^x, (lnx)' = 1/x
• 导数的运算法则：
  • (u ± v)' = u' ± v'
  • (uv)' = u'v + uv'
  • (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

2.3 导数的应用

• 单调性：
  • f'(x) > 0, 函数单调递增
  • f'(x) < 0, 函数单调递减
• 极值与最值：
  • 极值点的求法
  • 最值点的求法
• 切线方程： y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)
• 不等式的证明： 构造函数证明
• 实际应用： 优化问题

三、三角函数与解三角形

1. 三角函数

1.1 角的概念的推广

• 弧度制： l = rθ
• 任意角的三角函数定义： 单位圆上的定义
• 三角函数线： 正弦线，余弦线，正切线

1.2 三角函数的关系

• 同角三角函数关系：
  • sin^2(x) + cos^2(x) = 1
  • tanx = sinx / cosx
  • tanx * cotx = 1
• 诱导公式： kπ/2 ± α 的三角函数

1.3 三角函数的图像与性质

• 正弦函数： y = sinx
• 余弦函数： y = cosx
• 正切函数： y = tanx
• 图像变换： 振幅变换，周期变换，相位变换

1.4 三角恒等变换

• 两角和差公式： sin(α ± β), cos(α ± β), tan(α ± β)
• 二倍角公式： sin2α, cos2α, tan2α
• 半角公式： (不常用，了解)
• 万能公式： (不常用，了解)
• 和差化积与积化和差： (不常用，了解)

2. 解三角形

2.1 正弦定理

• 公式： a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

2.2 余弦定理

• 公式： a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosA

2.3 三角形面积公式

• 公式： S = 1/2 bc sinA = 1/2 ac sinB = 1/2 ab sinC
• 海伦公式： (了解)

2.4 解三角形的应用

• 测量问题： 距离，高度，角度
• 实际问题： 航海，建筑

四、平面向量

1. 平面向量的概念与线性运算

1.1 向量的概念

• 定义： 既有大小又有方向的量
• 表示： 箭头线段
• 零向量： 模为0的向量
• 单位向量： 模为1的向量
• 平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的向量
• 相等向量： 模相等且方向相同的向量

1.2 向量的线性运算

• 加法： 三角形法则，平行四边形法则
• 减法： 三角形法则
• 数乘： λa (改变向量的长度和方向)

2. 平面向量的基本定理及坐标表示

2.1 平面向量基本定理

• 定理： 存在不共线的e1, e2, 则任意向量a可表示为 a = λ1e1 + λ2e2

2.2 平面向量的坐标表示

• 坐标表示： a = (x, y)
• 向量的加减法坐标运算： a + b = (x1 + x2, y1 + y2), a - b = (x1 - x2, y1 - y2)
• 数乘的坐标运算： λa = (λx, λy)
• 向量平行的坐标表示： a // b ⇔ x1y2 - x2y1 = 0

3. 平面向量的数量积

3.1 数量积的定义

• 定义： a · b = |a| |b| cosθ

3.2 数量积的性质

• 性质：
  • a · b = b · a
  • a · a = |a|^2
  • a · b = 0 ⇔ a ⊥ b (a, b为非零向量)

3.3 数量积的坐标表示

• 公式： a · b = x1x2 + y1y2

3.4 数量积的应用

• 求向量的夹角： cosθ = (a · b) / (|a| |b|)
• 判断向量是否垂直： a · b = 0
• 求向量的模： |a| = √(a · a) = √(x^2 + y^2)
• 求投影： a在b方向上的投影为 |a|cosθ = (a·b)/|b|

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