《数列思维导图高中》

一、数列概述

1.1 定义

• 1.1.1 数列的概念: 按照一定顺序排列的一列数。
• 1.1.2 项的概念: 数列中的每一个数称为项。
• 1.1.3 通项公式: 数列的第 n 项与项数 n 之间的函数关系式，记作 an = f(n)。
• 1.1.4 表示方法:
  • 列举法
  • 通项公式法
  • 递推公式法
  • 图像法 (离散点)

1.2 分类

• 1.2.1 按项数分:
  • 有限数列: 项数有限
  • 无限数列: 项数无限
• 1.2.2 按增减性分:
  • 递增数列: an+1 > an
  • 递减数列: an+1 < an
  • 常数列: an+1 = an
  • 摆动数列: 项有增有减

1.3 数列与函数

• 1.3.1 联系: 数列可以看作定义域为正整数集或其有限子集的函数。
• 1.3.2 区别: 数列是离散的，函数是连续的。

二、等差数列

2.1 定义

• 2.1.1 定义: 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（公差）。
• 2.1.2 公差: 这个常数称为等差数列的公差，通常用 d 表示。
• 2.1.3 数学表达式: an+1 - an = d

2.2 通项公式

• 2.2.1 公式: an = a1 + (n-1)d
• 2.2.2 推导: 累加法
• 2.2.3 性质: ap - aq = (p-q)d

2.3 前n项和公式

• 2.3.1 公式1: Sn = n(a1 + an) / 2
• 2.3.2 公式2: Sn = na1 + n(n-1)d / 2
• 2.3.3 推导: 倒序相加法

2.4 等差中项

• 2.4.1 定义: 若 a, A, b 成等差数列，则 A 为 a 和 b 的等差中项。
• 2.4.2 公式: A = (a + b) / 2
• 2.4.3 性质: 2An = An-k + An+k

2.5 重要性质

• 2.5.1 下标和性质: 若 m + n = p + q，则 am + an = ap + aq。
• 2.5.2 等间隔抽取: ak, ak+m, ak+2m, ... 构成新的等差数列，公差为 md。
• 2.5.3 Sn的最值: 根据公差的正负判断，利用不等式 an >= 0 或 an <= 0 确定。

三、等比数列

3.1 定义

• 3.1.1 定义: 从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（公比）。
• 3.1.2 公比: 这个常数称为等比数列的公比，通常用 q 表示 (q ≠ 0)。
• 3.1.3 数学表达式: an+1 / an = q (q ≠ 0)

3.2 通项公式

• 3.2.1 公式: an = a1 * q^(n-1)
• 3.2.2 推导: 累乘法
• 3.2.3 性质: ap / aq = q^(p-q)

3.3 前n项和公式

• 3.3.1 当 q = 1 时: Sn = na1
• 3.3.2 当 q ≠ 1 时: Sn = a1(1 - q^n) / (1 - q) = (a1 - an*q) / (1-q)
• 3.3.3 推导: 错位相减法

3.4 等比中项

• 3.4.1 定义: 若 a, G, b 成等比数列，则 G 为 a 和 b 的等比中项。
• 3.4.2 公式: G^2 = ab (注意： a, b 同号)
• 3.4.3 性质: (An)^2 = An-k * An+k

3.5 重要性质

• 3.5.1 下标和性质: 若 m + n = p + q，则 am * an = ap * aq。
• 3.5.2 等间隔抽取: ak, ak+m, ak+2m, ... 构成新的等比数列，公比为 q^m。
• 3.5.3 Sn的性质: 若数列为等比数列， 则 Sn, S2n-Sn, S3n-S2n 也构成等比数列。 (q ≠ -1,0,1)

四、数列求和方法

4.1 公式法

• 4.1.1 等差数列求和公式
• 4.1.2 等比数列求和公式

4.2 错位相减法

• 4.2.1 适用类型: 等差数列和等比数列乘积构成的数列求和。
• 4.2.2 步骤:
  1. 写出Sn的表达式。
  2. 两边同乘以公比q。
  3. 错位相减。
  4. 化简求解。

4.3 倒序相加法

• 4.3.1 适用类型: 首尾项具有某种特殊关系的数列。
• 4.3.2 步骤:
  1. 写出Sn的表达式。
  2. 将Sn的项倒过来写。
  3. 将两个表达式相加。
  4. 化简求解。

4.4 裂项相消法

• 4.4.1 适用类型: 将数列的每一项拆成两项之差，使中间项相互抵消。
• 4.4.2 常见裂项公式:
  • 1 / [n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)
  • 1 / [n(n+k)] = 1/k [1/n - 1/(n+k)]
  • 1 / (√n + √(n+1)) = √(n+1) - √n

4.5 分组求和法

• 4.5.1 适用类型: 将数列分成几个等差或等比数列分别求和。

五、数列的综合应用

5.1 数列与函数、不等式的综合

• 5.1.1 单调性问题: 利用函数单调性判断数列的增减性。
• 5.1.2 最值问题: 利用函数或不等式求数列的最值。
• 5.1.3 不等式证明: 利用数列的性质或方法证明不等式。

5.2 数列与实际问题

• 5.2.1 增长率问题
• 5.2.2 分期付款问题
• 5.2.3 优化问题

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