数学高二思维导图
《数学高二思维导图》
一、集合与常用逻辑用语
1. 集合
- 1.1 集合的概念与表示
- 1.1.1 集合的定义：具有某种特定性质的对象的全体。
- 1.1.2 元素的性质：确定性、互异性、无序性。
- 1.1.3 集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法。
- 1.1.4 常用数集：N, Z, Q, R, C
- 1.2 集合间的关系
- 1.2.1 子集：A⊆B（A包含于B）
- 1.2.2 真子集：A⊂B（A真包含于B）
- 1.2.3 空集：∅
- 1.2.4 集合相等：A=B
- 1.3 集合的运算
- 1.3.1 并集：A∪B
- 1.3.2 交集：A∩B
- 1.3.3 补集：∁UA
2. 常用逻辑用语
- 2.1 命题及其关系
- 2.1.1 命题的定义：可以判断真假的语句。
- 2.1.2 命题的真假：真命题、假命题。
- 2.1.3 四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
- 2.1.4 四种命题的关系：互逆、互否、互为逆否。
- 2.1.5 逆否命题的等价性：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。
- 2.2 充分条件与必要条件
- 2.2.1 充分条件：p⇒q（p是q的充分条件）
- 2.2.2 必要条件：q⇒p（p是q的必要条件）
- 2.2.3 充要条件：p⇔q（p是q的充要条件）
- 2.2.4 既不充分也不必要条件
- 2.3 逻辑联结词
- 2.3.1 或：p∨q
- 2.3.2 且：p∧q
- 2.3.3 非：¬p
- 2.4 全称量词与存在量词
- 2.4.1 全称量词：∀
- 2.4.2 存在量词：∃
- 2.4.3 含全称量词命题的否定：∀x∈M, p(x)的否定是∃x∈M, ¬p(x)
- 2.4.4 含存在量词命题的否定：∃x∈M, p(x)的否定是∀x∈M, ¬p(x)
二、圆锥曲线与方程
1. 椭圆
- 1.1 椭圆的定义
- 1.1.1 定义：平面内到两个定点F1, F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
- 1.1.2 F1, F2为焦点，|F1F2|=2c，2a为长轴长，a为长半轴长，2b为短轴长，b为短半轴长。
- 1.2 椭圆的标准方程
- 1.2.1 焦点在x轴上：x²/a² + y²/b² = 1 (a>b>0)
- 1.2.2 焦点在y轴上：y²/a² + x²/b² = 1 (a>b>0)
- 1.2.3 a², b², c² 的关系：a² = b² + c²
- 1.3 椭圆的几何性质
- 1.3.1 范围：|x|≤a, |y|≤b
- 1.3.2 对称性：关于x轴、y轴对称，关于原点对称。
- 1.3.3 顶点：(±a, 0), (0, ±b)
- 1.3.4 离心率：e = c/a (0<e<1)
- 1.3.5 准线方程：x = ±a²/c （焦点在x轴上），y = ±a²/c （焦点在y轴上）
2. 双曲线
- 2.1 双曲线的定义
- 2.1.1 定义：平面内到两个定点F1, F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。
- 2.1.2 F1, F2为焦点，|F1F2|=2c，2a为实轴长，a为实半轴长，2b为虚轴长，b为虚半轴长。
- 2.2 双曲线的标准方程
- 2.2.1 焦点在x轴上：x²/a² - y²/b² = 1 (a>0, b>0)
- 2.2.2 焦点在y轴上：y²/a² - x²/b² = 1 (a>0, b>0)
- 2.2.3 a², b², c² 的关系：c² = a² + b²
- 2.3 双曲线的几何性质
- 2.3.1 范围：|x|≥a 或 |y|≥a （根据焦点位置判断）
- 2.3.2 对称性：关于x轴、y轴对称，关于原点对称。
- 2.3.3 顶点：(±a, 0), (0, ±a)
- 2.3.4 离心率：e = c/a (e>1)
- 2.3.5 渐近线方程：y = ±(b/a)x （焦点在x轴上），x = ±(b/a)y （焦点在y轴上）
- 2.3.6 准线方程：x = ±a²/c （焦点在x轴上），y = ±a²/c （焦点在y轴上）
3. 抛物线
- 3.1 抛物线的定义
- 3.1.1 定义：平面内到定点F（焦点）的距离等于它到一条定直线l（准线）的距离的点的轨迹。
- 3.1.2 F为焦点，l为准线，p为焦点到准线的距离。
- 3.2 抛物线的标准方程
- 3.2.1 y² = 2px (p>0)：开口向右，焦点(p/2, 0)，准线x = -p/2
- 3.2.2 y² = -2px (p>0)：开口向左，焦点(-p/2, 0)，准线x = p/2
- 3.2.3 x² = 2py (p>0)：开口向上，焦点(0, p/2)，准线y = -p/2
- 3.2.4 x² = -2py (p>0)：开口向下，焦点(0, -p/2)，准线y = p/2
- 3.3 抛物线的几何性质
- 3.3.1 对称性：关于对称轴对称。
- 3.3.2 顶点：(0, 0)
- 3.3.3 焦点：根据方程确定
- 3.3.4 准线：根据方程确定
三、空间向量与立体几何
1. 空间向量及其运算
- 1.1 空间向量的概念
- 1.1.1 定义：具有大小和方向的量。
- 1.1.2 线性运算：加法、减法、数乘。
- 1.1.3 向量的坐标表示。
- 1.2 空间向量的运算
- 1.2.1 向量的加法：三角形法则、平行四边形法则。
- 1.2.2 向量的减法。
- 1.2.3 向量的数量积（点积）：a·b = |a||b|cosθ
- 1.2.4 向量的向量积（叉积）：结果是一个向量，方向垂直于a和b所决定的平面，大小为|a||b|sinθ
- 1.3 空间向量的应用
- 1.3.1 判断向量共线、共面。
- 1.3.2 求向量的夹角。
- 1.3.3 求向量的模。
2. 立体几何
- 2.1 直线与平面的位置关系
- 2.1.1 直线与平面的平行。
- 2.1.2 直线与平面的垂直。
- 2.1.3 直线在平面内。
- 2.1.4 直线与平面相交。
- 2.2 平面与平面的位置关系
- 2.2.1 平面与平面的平行。
- 2.2.2 平面与平面的垂直。
- 2.2.3 两平面相交。
- 2.3 空间角的计算
- 2.3.1 直线与直线所成的角。
- 2.3.2 直线与平面所成的角。
- 2.3.3 二面角。
- 2.4 空间距离的计算
- 2.4.1 点到点的距离。
- 2.4.2 点到直线的距离。
- 2.4.3 点到平面的距离。
- 2.4.4 平行线间的距离。
- 2.4.5 异面直线间的距离。
- 2.4.6 平行平面间的距离。
四、导数及其应用
1. 导数的概念与几何意义
- 1.1 导数的定义
- 1.1.1 定义：函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0) = lim(Δx→0) [f(x0+Δx) - f(x0)] / Δx
- 1.2 导数的几何意义
- 1.2.1 导数f'(x0)表示曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率。
2. 导数的运算
- 2.1 常用函数的导数
- 2.1.1 c'(c为常数) = 0
- 2.1.2 (x^n)' = nx^(n-1)
- 2.1.3 (sinx)' = cosx
- 2.1.4 (cosx)' = -sinx
- 2.1.5 (e^x)' = e^x
- 2.1.6 (a^x)' = a^x lna
- 2.1.7 (lnx)' = 1/x
- 2.1.8 (logax)' = 1/(xlna)
- 2.2 导数的运算法则
- 2.2.1 [u(x) ± v(x)]' = u'(x) ± v'(x)
- 2.2.2 [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
- 2.2.3 [u(x)/v(x)]' = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]²
- 2.3 复合函数的导数
- 2.3.1 y = f(u), u = g(x), 则dy/dx = dy/du * du/dx
3. 导数的应用
- 3.1 函数的单调性
- 3.1.1 若f'(x)>0, 则f(x)在该区间上单调递增。
- 3.1.2 若f'(x)<0, 则f(x)在该区间上单调递减。
- 3.2 函数的极值与最值
- 3.2.1 极值的定义：极大值、极小值。
- 3.2.2 求极值的方法：解f'(x) = 0，判断导数符号变化。
- 3.2.3 最值的求法：比较极值与端点值的大小。
- 3.3 函数图像的切线问题
- 3.3.4 已知切点求切线方程。
- 3.3.5 已知斜率求切线方程。
- 3.4 导数在实际问题中的应用
- 3.4.1 最优化问题。
- 3.4.2 变化率问题。
