函数思维导图高中

# 《函数思维导图高中》

## 一、集合与常用逻辑用语

### 1. 集合

#### 1.1 概念与表示

*   **集合的概念:** 具有某种特定性质的对象的总体。
*   **集合的表示方法:**
    *   列举法
    *   描述法
    *   韦恩图法
*   **元素与集合的关系:**
    *   属于 ∈
    *   不属于 ∉

#### 1.2 集合间的基本关系

*   **子集:**  A⊆B (A中的所有元素都在B中)
*   **真子集:**  A⊂B (A是B的子集且A≠B)
*   **空集:**  ∅ (不含任何元素的集合，是任何集合的子集)
*   **集合相等:**  A=B (A⊆B 且 B⊆A)

#### 1.3 集合的基本运算

*   **并集:** A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
*   **交集:** A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
*   **补集:** ∁UA = {x | x∈U 且 x∉A} (U为全集)

### 2. 常用逻辑用语

#### 2.1 命题及其关系

*   **命题:** 可以判断真假的语句。
*   **简单命题与复合命题:** 由简单命题通过逻辑联结词组成的命题。
*   **逻辑联结词:**
    *   或 (∨)
    *   且 (∧)
    *   非 (¬)
*   **命题的四种形式:**
    *   原命题
    *   逆命题
    *   否命题
    *   逆否命题
*   **互为逆否的命题同真同假。**

#### 2.2 全称量词与存在量词

*   **全称量词:** ∀ (任意，所有)
*   **全称命题:** ∀x∈A, p(x)
*   **存在量词:** ∃ (存在，至少一个)
*   **存在命题:** ∃x∈A, p(x)
*   **全称命题的否定:** ¬(∀x∈A, p(x))  等价于 ∃x∈A, ¬p(x)
*   **存在命题的否定:** ¬(∃x∈A, p(x))  等价于 ∀x∈A, ¬p(x)

#### 2.3 充分条件与必要条件

*   **p是q的充分条件:** p⇒q
*   **p是q的必要条件:** q⇒p
*   **p是q的充要条件:** p⇔q
*   **逻辑关系的判断:** 分析命题之间的蕴含关系。

## 二、函数的概念与性质

### 1. 函数的概念

#### 1.1 函数的定义

*   设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x), x∈A 。
*   **A为定义域，B为值域，y=f(x)为对应关系。**

#### 1.2 函数的表示法

*   **解析法:** 用数学表达式表示函数。
*   **图像法:** 用图像表示函数。
*   **列表法:** 用表格列出对应值表示函数。

#### 1.3 函数的定义域

*   **常见函数定义域求法:**
    *   分母不为零
    *   根号下非负
    *   对数真数为正
    *   指数函数底数大于0且不等于1
    *   实际问题具体分析
*   **定义域的表示:** 区间、集合。

### 2. 函数的性质

#### 2.1 单调性

*   **增函数:**  x1 < x2 => f(x1) < f(x2)
*   **减函数:**  x1 < x2 => f(x1) > f(x2)
*   **单调区间的确定:**
    *   定义法
    *   导数法 (后续学习)
*   **复合函数的单调性:** 同增异减

#### 2.2 奇偶性

*   **奇函数:** f(-x) = -f(x)  (图像关于原点对称)
*   **偶函数:** f(-x) = f(x)  (图像关于y轴对称)
*   **判断奇偶性:**
    *   定义法
    *   图像法
*   **定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。**

#### 2.3 周期性

*   **周期函数:** 存在非零常数T，使得f(x+T) = f(x)恒成立。
*   **T为周期。**
*   **常见的周期函数类型。**

#### 2.4 对称性

*   **关于直线x=a对称:** f(a+x) = f(a-x)
*   **关于点(a,0)对称:** f(a+x) = -f(a-x)

### 3. 函数的图像

#### 3.1 常见函数图像

*   一次函数
*   二次函数
*   反比例函数
*   指数函数
*   对数函数
*   幂函数
*   三角函数 (后续学习)

#### 3.2 图像变换

*   **平移变换:**  左加右减，上加下减
*   **对称变换:**  关于x轴，y轴，原点
*   **伸缩变换:**  横坐标伸缩，纵坐标伸缩
*   **翻折变换:**  绝对值函数图像

## 三、基本初等函数

### 1. 指数函数

#### 1.1 指数与指数幂的运算

*   **整数指数幂**
*   **分数指数幂**
*   **实数指数幂**
*   **运算法则**

#### 1.2 指数函数及其性质

*   **定义:** y = a^x (a>0 且 a≠1)
*   **图像:**
    *   a>1 时，递增
    *   0<a<1 时，递减
*   **性质:**
    *   定义域：R
    *   值域：(0, +∞)
    *   恒过点 (0, 1)

### 2. 对数函数

#### 2.1 对数

*   **对数的定义:** 若 a^x = N (a>0 且 a≠1)，则 x = logaN
*   **常用对数和自然对数**
*   **对数的运算性质**
*   **换底公式**

#### 2.2 对数函数及其性质

*   **定义:** y = logax (a>0 且 a≠1)
*   **图像:**
    *   a>1 时，递增
    *   0<a<1 时，递减
*   **性质:**
    *   定义域：(0, +∞)
    *   值域：R
    *   恒过点 (1, 0)

### 3. 幂函数

#### 3.1 幂函数

*   **定义:** y = x^α  (α为常数)
*   **常见幂函数的图像和性质 (α = 1, 2, 3, 1/2, -1)**
*   **图像特征和性质与α的关系**

## 四、函数与方程

### 1. 函数的零点

*   **零点的定义:** 使 f(x) = 0 的 x 值
*   **函数零点与方程根的关系**
*   **零点存在性定理**
*   **二分法求方程的近似解**

### 2. 函数的应用

*   **建立函数模型解决实际问题**
*   **函数模型的选择与构建**
*   **解模与验证**

## 五、总结

*   **牢固掌握基本概念和性质**
*   **熟练运用函数图像解决问题**
*   **注重数形结合思想**
*   **灵活运用函数知识解决实际问题**

《函数思维导图高中》

一、集合与常用逻辑用语

1. 集合

1.1 概念与表示

集合的概念: 具有某种特定性质的对象的总体。
集合的表示方法:
- 列举法
- 描述法
- 韦恩图法
元素与集合的关系:
- 属于 ∈
- 不属于 ∉

1.2 集合间的基本关系

子集: A⊆B (A中的所有元素都在B中)
真子集: A⊂B (A是B的子集且A≠B)
空集: ∅ (不含任何元素的集合，是任何集合的子集)
集合相等: A=B (A⊆B 且 B⊆A)

1.3 集合的基本运算

并集: A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
交集: A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
补集: ∁UA = {x | x∈U 且 x∉A} (U为全集)

2. 常用逻辑用语

2.1 命题及其关系

命题: 可以判断真假的语句。
简单命题与复合命题: 由简单命题通过逻辑联结词组成的命题。
逻辑联结词:
- 或 (∨)
- 且 (∧)
- 非 (¬)
命题的四种形式:
- 原命题
- 逆命题
- 否命题
- 逆否命题
互为逆否的命题同真同假。

2.2 全称量词与存在量词

全称量词: ∀ (任意，所有)
全称命题: ∀x∈A, p(x)
存在量词: ∃ (存在，至少一个)
存在命题: ∃x∈A, p(x)
全称命题的否定: ¬(∀x∈A, p(x)) 等价于 ∃x∈A, ¬p(x)
存在命题的否定: ¬(∃x∈A, p(x)) 等价于 ∀x∈A, ¬p(x)

2.3 充分条件与必要条件

p是q的充分条件: p⇒q
p是q的必要条件: q⇒p
p是q的充要条件: p⇔q
逻辑关系的判断: 分析命题之间的蕴含关系。

二、函数的概念与性质

1. 函数的概念

1.1 函数的定义

设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x), x∈A 。
A为定义域，B为值域，y=f(x)为对应关系。

1.2 函数的表示法

解析法: 用数学表达式表示函数。
图像法: 用图像表示函数。
列表法: 用表格列出对应值表示函数。

1.3 函数的定义域

常见函数定义域求法:
- 分母不为零
- 根号下非负
- 对数真数为正
- 指数函数底数大于0且不等于1
- 实际问题具体分析
定义域的表示: 区间、集合。

2. 函数的性质

2.1 单调性

增函数: x1 < x2 => f(x1) < f(x2)
减函数: x1 < x2 => f(x1) > f(x2)
单调区间的确定:
- 定义法
- 导数法 (后续学习)
复合函数的单调性: 同增异减

2.2 奇偶性

奇函数: f(-x) = -f(x) (图像关于原点对称)
偶函数: f(-x) = f(x) (图像关于y轴对称)
判断奇偶性:
- 定义法
- 图像法
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。

2.3 周期性

周期函数: 存在非零常数T，使得f(x+T) = f(x)恒成立。
T为周期。
常见的周期函数类型。

2.4 对称性

关于直线x=a对称: f(a+x) = f(a-x)
关于点(a,0)对称: f(a+x) = -f(a-x)

3. 函数的图像

3.1 常见函数图像

一次函数
二次函数
反比例函数
指数函数
对数函数
幂函数
三角函数 (后续学习)

3.2 图像变换

平移变换: 左加右减，上加下减
对称变换: 关于x轴，y轴，原点
伸缩变换: 横坐标伸缩，纵坐标伸缩
翻折变换: 绝对值函数图像

三、基本初等函数

1. 指数函数

1.1 指数与指数幂的运算

整数指数幂
分数指数幂
实数指数幂
运算法则

1.2 指数函数及其性质

定义: y = a^x (a>0 且 a≠1)
图像:
- a>1 时，递增
- 0<a<1 时，递减
性质:
- 定义域：R
- 值域：(0, +∞)
- 恒过点 (0, 1)

2. 对数函数

2.1 对数

对数的定义: 若 a^x = N (a>0 且 a≠1)，则 x = logaN
常用对数和自然对数
对数的运算性质
换底公式

2.2 对数函数及其性质

定义: y = logax (a>0 且 a≠1)
图像:
- a>1 时，递增
- 0<a<1 时，递减
性质:
- 定义域：(0, +∞)
- 值域：R
- 恒过点 (1, 0)

3. 幂函数

3.1 幂函数

定义: y = x^α (α为常数)
常见幂函数的图像和性质 (α = 1, 2, 3, 1/2, -1)
图像特征和性质与α的关系

四、函数与方程

1. 函数的零点

零点的定义: 使 f(x) = 0 的 x 值
函数零点与方程根的关系
零点存在性定理
二分法求方程的近似解

2. 函数的应用

建立函数模型解决实际问题
函数模型的选择与构建
解模与验证

五、总结

牢固掌握基本概念和性质
熟练运用函数图像解决问题
注重数形结合思想
灵活运用函数知识解决实际问题

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