《高等数学思维导图》

I. 极限与连续

1.1 极限的概念

• 定义：
  • 数列极限 (ε-N定义)
  • 函数极限 (ε-δ定义)
  • 单侧极限 (左极限、右极限)
• 几何意义：
  • 数列极限：数列无限接近某个常数
  • 函数极限：自变量趋近于某点时，函数值无限接近某个常数
• 性质：
  • 唯一性
  • 有界性
  • 保号性
  • 不等式性

1.2 极限的运算法则

• 四则运算：
  • 加法、减法、乘法、除法极限的计算
  • 复合函数极限的计算
• 重要极限：
  • lim (sin x)/x (x→0) = 1
  • lim (1 + 1/x)^x (x→∞) = e
• 夹逼定理：
  • 用于求解复杂极限，寻找上下界函数

1.3 函数的连续性

• 定义：
  • 在一点连续：lim f(x) = f(x₀) (x→x₀)
  • 区间上连续：在区间内每一点都连续
• 间断点：
  • 第一类间断点：可去间断点、跳跃间断点
  • 第二类间断点：无穷间断点、振荡间断点
• 性质：
  • 连续函数的四则运算
  • 复合函数的连续性
  • 初等函数的连续性
• 闭区间上连续函数的性质：
  • 有界性
  • 最大值最小值定理
  • 介值定理
  • 零点存在定理

II. 一元函数微分学

2.1 导数与微分

• 导数：
  • 定义：f'(x) = lim [f(x + Δx) - f(x)] / Δx (Δx→0)
  • 几何意义：切线的斜率
  • 物理意义：瞬时变化率
  • 单侧导数：左导数、右导数
• 微分：
  • 定义：dy = f'(x) dx
  • 几何意义：切线增量
  • 与导数的关系：dy = f'(x) dx
• 求导法则：
  • 基本初等函数的导数公式
  • 四则运算求导法则
  • 复合函数求导法则 (链式法则)
  • 反函数求导法则
  • 隐函数求导法
  • 参数方程求导法
  • 对数求导法
• 高阶导数：
  • 定义：导数的导数
  • 莱布尼茨公式

2.2 微分中值定理与导数的应用

• 微分中值定理：
  • 费马引理
  • 罗尔定理
  • 拉格朗日中值定理
  • 柯西中值定理
• 导数的应用：
  • 函数单调性的判定
  • 函数的极值与最值
  • 函数凹凸性的判定
  • 拐点的求法
  • 函数图像的描绘
  • 洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)
  • 泰勒公式 (Taylor's Formula)

III. 一元函数积分学

3.1 不定积分

• 定义：
  • 原函数
  • 不定积分
• 基本积分公式：
  • 常见函数的积分公式
• 积分方法：
  • 换元积分法 (第一类换元积分、第二类换元积分)
  • 分部积分法

3.2 定积分

• 定义：
  • 定积分的定义
  • 几何意义：曲边梯形的面积
• 性质：
  • 线性性质
  • 积分区间可加性
  • 保号性
  • 估值定理
  • 积分中值定理
• 微积分基本定理：
  • 牛顿-莱布尼茨公式 (Newton-Leibniz Formula)
• 定积分的计算：
  • 换元积分法
  • 分部积分法
• 广义积分：
  • 无穷限积分
  • 瑕积分 (无界函数积分)

3.3 定积分的应用

• 几何应用：
  • 计算平面图形的面积
  • 计算旋转体的体积
  • 计算曲线的弧长
• 物理应用：
  • 计算变力做功
  • 计算液体静压力
  • 计算质心

IV. 多元函数微积分学

4.1 多元函数微分学

• 基本概念：
  • 多元函数
  • 偏导数
  • 全微分
• 复合函数求导：
  • 链式法则
• 隐函数求导：
  • 一个方程的情形
  • 方程组的情形
• 空间曲线的切线与法平面：
  • 切线方程
  • 法平面方程
• 曲面的切平面与法线：
  • 切平面方程
  • 法线方程
• 多元函数的极值：
  • 无条件极值
  • 条件极值 (拉格朗日乘数法)

4.2 多元函数积分学

• 二重积分：
  • 定义
  • 计算方法：
    • 直角坐标系
    • 极坐标系
• 三重积分：
  • 定义
  • 计算方法：
    • 直角坐标系
    • 柱面坐标系
    • 球面坐标系
• 曲线积分：
  • 第一类曲线积分 (对弧长的积分)
  • 第二类曲线积分 (对坐标的积分)
  • 格林公式 (Green's Theorem)
• 曲面积分：
  • 第一类曲面积分 (对面积的积分)
  • 第二类曲面积分 (对坐标的积分)
  • 高斯公式 (Gauss's Theorem)
  • 斯托克斯公式 (Stokes' Theorem)

V. 常微分方程

5.1 基本概念

• 微分方程：
  • 定义
  • 阶
  • 解
  • 通解
  • 特解
• 线性微分方程：
  • 齐次线性微分方程
  • 非齐次线性微分方程

5.2 常微分方程的解法

• 一阶微分方程：
  • 可分离变量的微分方程
  • 齐次微分方程
  • 一阶线性微分方程 (常数变易法)
  • 伯努利方程 (Bernoulli Equation)
  • 全微分方程
• 高阶常系数线性微分方程：
  • 二阶常系数齐次线性微分方程
  • 二阶常系数非齐次线性微分方程
    • 自由项为多项式
    • 自由项为指数函数
    • 自由项为三角函数

VI. 级数

6.1 数项级数

• 基本概念：
  • 级数
  • 部分和
  • 收敛
  • 发散
• 收敛性判别法：
  • 正项级数：
    • 比较判别法
    • 比值判别法 (达朗贝尔判别法)
    • 根值判别法 (柯西判别法)
    • 积分判别法
  • 交错级数：
    • 莱布尼茨判别法
  • 任意项级数：
    • 绝对收敛
    • 条件收敛

6.2 函数项级数

• 幂级数：
  • 收敛半径
  • 收敛区间
  • 收敛域
  • 阿贝尔定理
• 泰勒级数：
  • 泰勒公式
  • 麦克劳林公式
  • 常见函数的泰勒展开式
• 傅里叶级数：
  • 正交函数系
  • 傅里叶系数
  • 狄利克雷定理

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 一年级英语思维导图