《数学思维导图高二》
一、集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合的概念
- 定义: 一组确定的、互异的、无序的对象构成一个集合。
- 表示方法:
- 列举法：{a, b, c, ...}
- 描述法：{x | p(x)}
- Venn图法
- 集合间的关系:
- 子集 (A⊆B): A中所有元素都在B中。
- 真子集 (A⊂B): A是B的子集，且A≠B。
- 相等 (A=B): A⊆B且B⊆A。
- 空集 (∅): 不含任何元素的集合。
1.1.2 集合的运算
- 并集 (A∪B): {x | x∈A 或 x∈B}
- 交集 (A∩B): {x | x∈A 且 x∈B}
- 补集 (∁UA): {x | x∈U 且 x∉A}， U为全集。
1.1.3 集合的应用
- 求解不等式
- 解方程组
- 解决实际问题
1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题及关系
- 命题: 可以判断真假的语句。
- 简单命题: 不包含逻辑联结词的命题。
- 复合命题: 由简单命题通过逻辑联结词构成。
- 逻辑联结词:
- “或”(∨): p∨q，p、q至少有一个为真，则p∨q为真。
- “且”(∧): p∧q，p、q都为真，则p∧q为真。
- “非”(¬): ¬p，p为真，则¬p为假；p为假，则¬p为真。
- 命题间的关系:
- 原命题: 若p，则q。
- 逆命题: 若q，则p。
- 否命题: 若¬p，则¬q。
- 逆否命题: 若¬q，则¬p。
- 原命题与逆否命题等价。
- 逆命题与否命题等价。
1.2.2 充分条件、必要条件与充要条件
- 充分条件: 若p⇒q，则p是q的充分条件。
- 必要条件: 若q⇒p，则p是q的必要条件。
- 充要条件: 若p⇔q，则p是q的充要条件。
1.2.3 全称量词与存在量词
- 全称量词 (∀): “所有”、“每一个”等。 例如: ∀x∈A, p(x)。
- 存在量词 (∃): “存在”、“至少有一个”等。 例如: ∃x∈A, p(x)。
- 含有量词的命题的否定:
- ¬(∀x∈A, p(x)) ⇔ ∃x∈A, ¬p(x)
- ¬(∃x∈A, p(x)) ⇔ ∀x∈A, ¬p(x)
二、函数
2.1 函数的概念与性质
2.1.1 函数的概念
- 定义: 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。
- 函数的要素: 定义域、值域、对应关系。
- 函数的表示法:
- 解析法
- 图像法
- 列表法
2.1.2 函数的性质
- 单调性:
- 增函数：在区间(a, b)上，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2)。
- 减函数：在区间(a, b)上，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2)。
- 奇偶性:
- 奇函数：f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。
- 偶函数：f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称。
- 周期性: 存在T，使得f(x+T) = f(x)。
2.2 基本初等函数
2.2.1 指数函数
- 定义: y = ax (a > 0, a ≠ 1)
- 图像与性质: a > 1时，增函数；0 < a < 1时，减函数。
- 指数运算: am * an = am+n, am / an = am-n, (am)n = amn
2.2.2 对数函数
- 定义: y = logax (a > 0, a ≠ 1)
- 图像与性质: a > 1时，增函数；0 < a < 1时，减函数。
- 对数运算: loga(MN) = logaM + logaN, loga(M/N) = logaM - logaN, logaMn = nlogaM
- 换底公式: logab = logcb / logca
2.2.3 幂函数
- 定义: y = xa
- 图像与性质: 根据a的不同取值，图像和性质不同。
2.3 函数的应用
2.3.1 函数与方程
- 零点: f(x) = 0的解。
- 二分法: 求解零点的近似值。
2.3.2 函数模型及其应用
- 构建函数模型解决实际问题。
三、三角函数
3.1 三角函数的概念
3.1.1 任意角的概念与弧度制
- 角的推广: 角度可以是任意实数。
- 弧度制: l = rθ
- 角度与弧度的换算: 180° = π
3.1.2 三角函数的定义
- 单位圆定义: 在单位圆上，角α的终边与单位圆的交点为P(x, y)，则sinα = y, cosα = x, tanα = y/x。
3.2 三角函数的图像与性质
3.2.1 正弦函数 y = sinx
- 图像: 正弦曲线
- 性质: 定义域R，值域[-1, 1]，周期2π，奇函数。
3.2.2 余弦函数 y = cosx
- 图像: 余弦曲线
- 性质: 定义域R，值域[-1, 1]，周期2π，偶函数。
3.2.3 正切函数 y = tanx
- 图像: 正切曲线
- 性质: 定义域{x|x≠kπ+π/2, k∈Z}，值域R，周期π，奇函数。
3.3 三角恒等变换
3.3.1 和角公式与差角公式
- sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
- cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
- tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)
3.3.2 二倍角公式
- sin2α = 2sinαcosα
- cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α
- tan2α = 2tanα / (1 - tan2α)
3.3.3 辅助角公式
- asinα + bcosα = √(a2+b2)sin(α+φ)，其中tanφ = b/a
3.4 三角函数的应用
3.4.1 解三角形
- 正弦定理: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
- 余弦定理: a2 = b2 + c2 - 2bccosA
- 面积公式: S = 1/2bcsinA
3.4.2 三角函数模型的简单应用
- 周期性变化问题的建模与解决。
四、平面向量
4.1 平面向量的概念及线性运算
4.1.1 向量的概念
- 定义: 既有大小又有方向的量。
- 表示: 箭头线段，字母表示：a, b, c
- 零向量: 长度为0的向量。
- 单位向量: 长度为1的向量。
- 平行向量（共线向量）: 方向相同或相反的非零向量。
4.1.2 向量的线性运算
- 加法: 几何意义：三角形法则、平行四边形法则。
- 减法: 几何意义：三角形法则。
- 数乘: λa，改变向量的长度和方向。
4.2 平面向量基本定理及坐标表示
4.2.1 平面向量基本定理
- 如果e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1, λ2，使a = λ1e1 + λ2e2。 e1, e2称为一组基底。
4.2.2 平面向量的坐标表示
- a = (x, y)，x和y称为向量a的坐标。
4.2.3 向量的线性运算的坐标表示
- a = (x1, y1), b = (x2, y2)
- a + b = (x1+x2, y1+y2)
- a - b = (x1-x2, y1-y2)
- λa = (λx1, λy1)
4.3 平面向量的数量积
4.3.1 向量的数量积
- 定义: a · b = |a||b|cosθ，θ为a, b的夹角。
- 坐标表示: a = (x1, y1), b = (x2, y2)，a · b = x1x2 + y1y2
4.3.2 向量数量积的性质
- a · b = b · a
- a · a = |a|2
- a ⊥ b ⇔ a · b = 0
4.4 平面向量的应用
4.4.1 向量的几何应用
- 证明线段平行、垂直
- 求解角度
- 计算长度
4.4.2 向量的物理应用
- 力与功的计算
说明: 此思维导图为高二数学主要内容概览，并非详尽的知识点罗列。建议结合教材和练习，深化理解各个知识点。