《高中函数思维导图》
一、函数概念与表示
1.1 函数的定义
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定义： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称 f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数。
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关键要素：
- 定义域A
- 值域 {f(x) | x∈A}
- 对应关系 f
- 对应关系的确定性与唯一性
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函数的三要素： 定义域，值域，对应关系（通常只需确定定义域和对应关系即可）
1.2 函数的表示法
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解析法： 用数学表达式表示函数关系。
- 优点：简明，精确，易于计算函数值，便于研究函数的性质。
- 缺点：有时不易找到。
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图像法： 用图像表示函数关系。
- 优点：直观，形象，易于观察函数的性质。
- 缺点：不够精确，有时不易绘制。
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列表法： 用表格表示函数关系。
- 优点：无需公式，直接反映对应关系。
- 缺点：信息有限，仅适用于离散型函数。
1.3 函数的定义域
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定义： 使函数有意义的自变量x的取值范围。
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常见类型：
- 分母不为零
- 偶次方根下非负
- 对数真数大于零
- 指数、对数函数的底数大于零且不等于1
- 实际问题有限制条件
1.4 函数的值域
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定义： 函数值f(x)的取值范围。
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常用求法：
- 直接法：观察法，不等式法
- 配方法
- 判别式法
- 反函数法
- 换元法
- 不等式/函数性质法 (单调性、最值)
二、函数的性质
2.1 单调性
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定义：
- 增函数：当x1 < x2时，f(x1) < f(x2)
- 减函数：当x1 < x2时，f(x1) > f(x2)
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判断方法：
- 定义法：取值、作差、变形、定号、结论
- 导数法：f'(x) > 0则增，f'(x) < 0则减
- 图像法：观察图像的上升或下降趋势
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应用：
- 比较大小
- 解不等式
- 求最值
2.2 奇偶性
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定义：
- 偶函数：f(-x) = f(x) (关于y轴对称)
- 奇函数：f(-x) = -f(x) (关于原点对称)
- 定义域关于原点对称是前提
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判断方法：
- 定义法：验证f(-x)与f(x)的关系
- 图像法：观察图像的对称性
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性质：
- 奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数单调性相反
- 奇函数过原点（若定义域包含0），偶函数与y轴有交点
2.3 周期性
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定义： 存在常数T，使得f(x+T) = f(x) (T为周期)
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判断：
- 验证f(x+T) = f(x)
- 观察图像重复出现的最小区间长度
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应用： 化简求值，研究函数性质
2.4 对称性
- 中心对称: f(x+a) + f(a-x) = 2b，关于点(a,b)对称
- 轴对称: f(x+a) = f(a-x)，关于直线x=a对称
三、基本初等函数
3.1 指数函数
- 形式： y = a^x (a > 0, a ≠ 1)
- 性质：
- 定义域：R
- 值域：(0, +∞)
- 过定点(0, 1)
- 单调性：a > 1 时递增，0 < a < 1 时递减
3.2 对数函数
- 形式： y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)
- 性质：
- 定义域：(0, +∞)
- 值域：R
- 过定点(1, 0)
- 单调性：a > 1 时递增，0 < a < 1 时递减
- 运算法则：logₐ(MN) = logₐM + logₐN, logₐ(M/N) = logₐM - logₐN, logₐMⁿ = nlogₐM
3.3 幂函数
- 形式： y = x^α (α ∈ R)
- 性质： 受α影响，图像和性质复杂，需分类讨论
- α > 0：过原点，第一象限
- α < 0：不过原点，第一象限
- α为奇数：关于原点对称
- α为偶数：关于y轴对称
3.4 三角函数
- 正弦函数 y = sinx， 余弦函数 y = cosx， 正切函数 y = tanx
- 图像与性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性)
- 三角恒等变换 (和差公式、倍角公式、半角公式、万能公式)
- 解三角形 (正弦定理、余弦定理)
3.5 常数函数
- 形式： y = c (c为常数)
- 性质：
- 定义域：R
- 值域：{c}
- 图像为一条水平直线
四、函数变换
4.1 平移变换
- 左加右减: y = f(x) → y = f(x + a)
- 上加下减: y = f(x) → y = f(x) + b
4.2 伸缩变换
- 横坐标伸缩: y = f(x) → y = f(Ax) (A > 0)
- 纵坐标伸缩: y = f(x) → y = Bf(x) (B > 0)
4.3 对称变换
- 关于x轴对称: y = f(x) → y = -f(x)
- 关于y轴对称: y = f(x) → y = f(-x)
- 关于原点对称: y = f(x) → y = -f(-x)
- 关于直线 y = x 对称: y = f(x) 的反函数
五、函数应用
5.1 函数与方程
- 零点存在性定理
- 二分法求方程的近似解
- 函数图像的交点与方程的根
5.2 函数模型及其应用
- 增长率问题
- 优化问题
- 实际问题抽象成数学模型
5.3 数形结合思想
- 利用图像研究函数性质
- 利用图像求解方程/不等式
- 几何问题代数化
六、复合函数
6.1 复合函数的定义
- y = f(g(x))， g(x)的值域是f(x)定义域的子集
6.2 复合函数的定义域
- g(x)的定义域，且g(x)的值域必须包含于f(u)的定义域
6.3 复合函数的单调性
- 同增异减 (外层函数与内层函数的单调性相同则复合函数递增，相反则递减)