《数学高一思维导图》

一、集合

1. 集合的概念

• 定义： 一些确定的、不同的对象的全体。
• 元素特性：
  • 确定性：元素必须是确定的。
  • 互异性：集合中的元素必须是互不相同的。
  • 无序性：集合中元素的排列顺序是任意的。
• 表示方法：
  • 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
  • 描述法：用集合中元素的共同属性来描述集合。 格式： { x | p(x) }， 其中 x 代表元素，p(x) 代表元素满足的条件。
  • 韦恩图法：用封闭曲线的内部表示集合。

2. 集合间的基本关系

• 子集： 对于两个集合 A 和 B，如果 A 的任何一个元素都是 B 的元素，那么 A 叫做 B 的子集，记作 A ⊆ B (或 B ⊇ A)。
• 真子集： 对于两个集合 A 和 B，如果 A ⊆ B，且 A ≠ B，那么 A 叫做 B 的真子集，记作 A ⊂ B (或 B ⊃ A)。
• 空集： 不含任何元素的集合叫做空集，记作 ∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
• 集合相等： 如果 A ⊆ B 且 B ⊆ A，那么 A = B。

3. 集合的基本运算

• 并集： 由所有属于 A 或属于 B 的元素所组成的集合，记作 A ∪ B，A ∪ B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }。
• 交集： 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合，记作 A ∩ B，A ∩ B = { x | x ∈ A 且 x ∈ B }。
• 补集： 若 A ⊆ U，则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作 C_UA，C_UA = { x | x ∈ U 且 x ∉ A }。 U 称为全集。

4. 集合运算性质

• A ∪ ∅ = A
• A ∩ ∅ = ∅
• A ∪ A = A
• A ∩ A = A
• A ∪ U = U
• A ∩ U = A
• A ∪ (C_UA) = U
• A ∩ (C_UA) = ∅
• C_U(A ∪ B) = (C_UA) ∩ (C_UB)
• C_U(A ∩ B) = (C_UA) ∪ (C_UB)

二、函数

1. 函数的概念与表示

• 定义： 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f(x), x ∈ A。
  • A 叫做定义域。
  • 值域是 { f(x) | x ∈ A }，值域 ⊆ B。
• 函数的表示方法：
  • 解析法：用数学表达式表示函数。
  • 列表法：将自变量 x 和函数值 y 的对应关系列成表格。
  • 图像法：将自变量 x 和函数值 y 的对应关系在坐标平面上表示出来。

2. 函数的性质

• 单调性：
  • 增函数： 在定义域的某个区间上，如果当 x₁ < x₂ 时，都有 f(x₁) < f(x₂)，那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数。
  • 减函数： 在定义域的某个区间上，如果当 x₁ < x₂ 时，都有 f(x₁) > f(x₂)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。
• 奇偶性：
  • 奇函数： 对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x) = -f(x)，那么就称 f(x) 为奇函数。 奇函数图像关于原点对称。
  • 偶函数： 对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x) = f(x)，那么就称 f(x) 为偶函数。 偶函数图像关于 y 轴对称。
• 周期性：
  • 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得对于定义域内的每一个 x，都有 f(x + T) = f(x)，那么就称 f(x) 为周期函数，T 叫做这个函数的周期。

3. 基本初等函数

• 一次函数： f(x) = kx + b (k ≠ 0)。
• 二次函数： f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)。
• 反比例函数： f(x) = k/x (k ≠ 0)。
• 幂函数： f(x) = x^α (α ∈ R)。
• 指数函数： f(x) = a^x (a > 0 且 a ≠ 1)。
• 对数函数： f(x) = log_ax (a > 0 且 a ≠ 1)。

4. 函数的图像

• 描点法： 列表、描点、连线。
• 图像变换：
  • 平移变换： 左加右减，上加下减。
  • 对称变换： 关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，关于原点对称。
  • 伸缩变换： y 轴方向，x 轴方向。

三、指数函数和对数函数

1. 指数

• 指数的概念： aⁿ，其中 a 叫做底数，n 叫做指数。
• 指数运算：
  • a^m * aⁿ = a^m+n
  • (a^m)ⁿ = a^mn
  • (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
  • a^m / aⁿ = a^m-n
  • a⁰ = 1 (a ≠ 0)
  • a^-p = 1/a^p (a ≠ 0)

2. 对数

• 对数的概念： 如果 a^x = N (a > 0 且 a ≠ 1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x = log_aN。
• 对数运算：
  • log_a(MN) = log_aM + log_aN
  • log_a(M/N) = log_aM - log_aN
  • log_a(Mⁿ) = n log_aM
  • log_a1 = 0
  • log_aa = 1
• 换底公式： log_ab = log_cb / log_ca

3. 指数函数

• 定义： 函数 y = a^x (a > 0 且 a ≠ 1) 叫做指数函数。
• 图像与性质：
  • a > 1 时，函数是增函数。
  • 0 < a < 1 时，函数是减函数。
  • 恒过点 (0, 1)。
  • 值域为 (0, +∞)。

4. 对数函数

• 定义： 函数 y = log_ax (a > 0 且 a ≠ 1) 叫做对数函数。
• 图像与性质：
  • a > 1 时，函数是增函数。
  • 0 < a < 1 时，函数是减函数。
  • 恒过点 (1, 0)。
  • 定义域为 (0, +∞)。

5. 指数函数与对数函数的关系

• 互为反函数。

四、三角函数（任意角和弧度制，三角函数的定义）

1. 任意角

• 定义： 由一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
• 角的分类：
  • 正角：按逆时针方向旋转形成的角。
  • 负角：按顺时针方向旋转形成的角。
  • 零角：射线没有旋转形成的角。
• 象限角： 将角放在直角坐标系中，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角。

2. 弧度制

• 定义： 长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
• 角度与弧度的换算：
  • 180° = π 弧度
  • 1 弧度 = (180/π)° ≈ 57.30°
• 弧长公式： l = |α| * r，其中 l 为弧长，|α| 为弧度的绝对值，r 为半径。
• 扇形面积公式： S = (1/2) l r = (1/2) |α| r²

3. 三角函数的定义

• 定义： 设 α 是一个任意角，它的终边上一点 P 的坐标是 (x, y)，它到原点的距离是 r (r > 0)，那么：
  • 正弦函数： sinα = y/r
  • 余弦函数： cosα = x/r
  • 正切函数： tanα = y/x (x ≠ 0)

4. 特殊角的三角函数值

• 0°, 30°, 45°, 60°, 90° 的正弦、余弦、正切值。

5. 三角函数符号

• 正弦： 一二正，三四负
• 余弦： 一四正，二三负
• 正切： 一三正，二四负

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