《七下思维导图数学》

一、有理数

1.1 正数与负数

• 定义:

  • 大于0的数是正数
  • 小于0的数是负数
  • 0既不是正数也不是负数

• 应用:

  • 表示相反意义的量
  • 在数轴上表示

1.2 数轴

• 定义:

  • 规定了原点、正方向和单位长度的直线

• 要素:

  • 原点
  • 正方向
  • 单位长度

• 作用:

  • 直观表示数的大小
  • 比较有理数的大小
  • 理解绝对值的几何意义

1.3 绝对值

• 定义:

  • 数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|

• 性质:

  • |a| ≥ 0
  • 正数的绝对值是它本身
  • 负数的绝对值是它的相反数
  • 0的绝对值是0

• 几何意义:

  • 点到原点的距离

1.4 有理数的加法

• 法则:

  • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
  • 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
  • 一个数同0相加，仍得这个数

• 运算律:

  • 交换律：a+b = b+a
  • 结合律：(a+b)+c = a+(b+c)

1.5 有理数的减法

• 法则:
  • 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b)

1.6 有理数的乘法

• 法则:

  • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
  • 任何数同0相乘，都得0

• 运算律:

  • 交换律：a×b = b×a
  • 结合律：(a×b)×c = a×(b×c)
  • 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c

1.7 有理数的除法

• 法则:
  • 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a ÷ b = a × (1/b)
  • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
  • 0除以任何不等于0的数，都得0

1.8 有理数的乘方

• 定义:

  • 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，结果叫做幂
  • a^n 表示n个a相乘

• 性质:

  • 正数的任何次幂都是正数
  • 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
  • 0的任何正整数次幂都是0

1.9 科学计数法

• 定义:
  • 把一个大于10的数表示成a × 10^n 的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n为正整数

1.10 有理数的混合运算

• 运算顺序:
  1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减
  2. 同级运算，从左到右依次进行
  3. 如果有括号，先算括号里面的

二、代数式

2.1 代数式

• 定义:

  • 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子

• 书写规范:

  • 数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常省略
  • 数字在前，字母在后
  • 带分数要化成假分数

2.2 单项式

• 定义:

  • 由数与字母的乘积组成的代数式

• 系数:

  • 单项式中的数字因数

• 次数:

  • 单项式中所有字母的指数的和

2.3 多项式

• 定义:

  • 几个单项式的和

• 项:

  • 多项式中的每个单项式

• 次数:

  • 多项式中次数最高的项的次数

• 常数项:

  • 不含字母的项

2.4 同类项

• 定义:

  • 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项

• 合并同类项:

  • 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变

2.5 去括号与添括号

• 去括号法则:

  • 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号
  • 括号前是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号

• 添括号法则:

  • 添“+”号和括号，括号里各项都不改变符号
  • 添“—”号和括号，括号里各项都改变符号

2.6 整式的加减

• 步骤:
  1. 去括号
  2. 合并同类项

2.7 代数式求值

• 方法:
  1. 先化简代数式
  2. 代入数值计算

三、一元一次方程

3.1 方程的定义

• 方程:
  • 含有未知数的等式

3.2 一元一次方程

• 定义:
  • 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程

3.3 等式的性质

• 性质1:

  • 等式两边加（或减）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式

• 性质2:

  • 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式

3.4 解一元一次方程

• 步骤:
  1. 去分母（若有）
  2. 去括号（若有）
  3. 移项
  4. 合并同类项
  5. 系数化为1

3.5 列方程解应用题

• 步骤:

  1. 审题，明确题意和数量关系
  2. 设未知数
  3. 列方程
  4. 解方程
  5. 检验并作答

• 常见类型:

  • 行程问题
  • 工程问题
  • 利润问题
  • 年龄问题
  • 数字问题
  • 分配问题

四、图形的初步认识

4.1 线段、射线、直线

• 线段:

  • 有两个端点

• 射线:

  • 只有一个端点

• 直线:

  • 没有端点

• 表示方法:

  • 线段：AB或BA，a
  • 射线：AB (A为端点)
  • 直线：AB或BA，l

• 性质:

  • 两点确定一条直线
  • 两点之间，线段最短

4.2 角

• 定义:

  • 具有公共端点的两条射线组成的图形

• 表示方法:

  • ∠AOB，∠1，∠α

• 角的度量:

  • 度、分、秒

• 角的比较:

  • 叠合法

• 角的分类:

  • 锐角、直角、钝角、平角、周角

4.3 余角与补角

• 余角:

  • 两个角的和等于90°

• 补角:

  • 两个角的和等于180°

• 性质:

  • 同角或等角的余角相等
  • 同角或等角的补角相等

4.4 方位角与方向角

• 方位角:

  • 以正北或正南方向为基准，描述物体方向的角

• 方向角:

  • 类似方位角，但常用东、西、南、北等词语来描述

4.5 简单几何体的展开图

• 正方体、长方体、圆柱、圆锥等的展开图
  • 空间想象能力

五、数据的收集与整理

5.1 调查方式

• 普查:

  • 考察全体对象

• 抽样调查:

  • 抽取部分对象进行考察

5.2 数据的表示

• 条形统计图:

  • 直观显示各组数据的大小

• 折线统计图:

  • 反映数据的变化趋势

• 扇形统计图:

  • 显示各部分在总体中所占的百分比

5.3 统计图的选择

• 根据数据的特点和要表达的信息选择合适的统计图
  • 条形图：比较各组数据的大小
  • 折线图：显示数据的变化趋势
  • 扇形图：显示各部分在总体中所占的百分比

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