数学乘除法思维导图
《数学乘除法思维导图》
一、乘法
1. 乘法的定义和意义
- 定义： 求几个相同加数的和的简便运算。
- 意义：
- 求几个相同加数的和是多少？
- 求一个数的几倍是多少？
- 表示两个数相乘的关系，可以理解为面积，体积等。
2. 乘法的组成部分
- 乘数： 表示相同加数的个数。
- 被乘数： 表示相同的加数。
- 积： 表示乘法运算的结果。
- 公式： 乘数 × 被乘数 = 积
3. 乘法口诀
- 背诵方法： 熟练记忆九九乘法表，灵活运用。
- 应用： 快速计算乘法，解决实际问题。
- 特殊口诀： 1x1=1, 2x2=4, 3x3=9...9x9=81
4. 乘法的运算性质
- 交换律： a × b = b × a
- 意义：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。
- 应用：简化计算，验算乘法。
- 结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 意义：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再和第三个数相乘；也可以先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。
- 应用：简化连乘计算。
- 分配律： (a + b) × c = a × c + b × c
- 意义：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变。
- 应用：简化复杂乘法计算，例如 99 x 5 = (100-1) x 5 = 500 - 5 = 495
- 单位1： 任何数乘以1都等于它本身 a × 1 = a
- 0的作用： 任何数乘以0都等于0 a × 0 = 0
5. 乘法的运算方法
- 一位数乘法：
- 口算：熟练运用乘法口诀。
- 笔算：从个位算起，满十进一。
- 两位数乘法：
- 横式计算：拆分数字，运用分配律。
- 竖式计算：注意数位对齐，进位。
- 多位数乘法：
- 原理与两位数乘法相同，注意数位对齐和进位。
- 可以使用计算器辅助计算。
- 小数乘法：
- 先按整数乘法计算，再根据乘数的小数位数确定积的小数位数。
- 分数乘法：
- 分数乘分数：分子乘分子，分母乘分母。
- 分数乘整数：整数与分子相乘，分母不变。
6. 乘法的应用
- 实际问题： 计算商品总价，面积，体积等。
- 解决问题策略： 分析问题，找出数量关系，列式计算。
- 估算： 估计乘法结果的范围，检验计算结果的合理性。
二、除法
1. 除法的定义和意义
- 定义： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
- 意义：
- 把一个数平均分成若干份，求每份是多少？（等分除）
- 求一个数里包含多少个另一个数？（包含除）
2. 除法的组成部分
- 被除数： 表示被平均分的数或者被包含的数。
- 除数： 表示平均分的份数或者包含的数量。
- 商： 表示每份是多少或者包含的个数。
- 余数： 表示除不尽的剩余部分。
- 公式： 被除数 ÷ 除数 = 商 … 余数 (余数 < 除数)
3. 除法口诀
- 背诵方法： 利用乘法口诀反推。
- 应用： 快速计算除法，解决实际问题。
4. 除法的运算性质
- 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，商不变。 (a × c) ÷ (b × c) = a ÷ b
- 除法是乘法的逆运算。
5. 除法的运算方法
- 一位数除法：
- 口算：熟练运用乘法口诀的逆运算。
- 笔算：从高位算起，一步一步往下除。
- 两位数除法：
- 试商：确定商的位置，估算商的大小。
- 竖式计算：注意数位对齐，余数要小于除数。
- 多位数除法：
- 原理与两位数除法相同，注意数位对齐和试商。
- 可以使用计算器辅助计算。
- 小数除法：
- 将除数化为整数，根据除数移动的小数位数，将被除数的小数点也移动相应的位数，再按整数除法计算。
- 分数除法：
- 除以一个数等于乘以这个数的倒数。 a ÷ (b/c) = a × (c/b)
6. 除法的应用
- 实际问题： 平均分配物品，计算单价，求倍数关系等。
- 解决问题策略： 分析问题，找出数量关系，列式计算。
- 验算： 用乘法验算除法： 商 × 除数 + 余数 = 被除数。
三、乘除法混合运算
1. 运算顺序
- 同级运算： 从左到右依次计算。
- 含有乘除法和加减法： 先算乘除法，后算加减法。
- 含有括号： 先算括号里面的，再算括号外面的。
2. 简便运算
- 结合律和分配律的应用： 将算式变形，简化计算。
- 凑整法： 将接近整十、整百的数凑成整数，方便计算。
四、乘除法的关系
- 互逆运算： 乘法和除法是互逆运算，可以相互转化。
- 应用： 利用乘除法的关系进行验算，解决问题。
五、总结
- 熟练掌握乘除法的定义、意义、运算性质和运算方法。
- 灵活运用乘除法解决实际问题。
- 注重培养数感和估算能力。
