《高一数学必修二思维导图》

一、 空间几何初步

• 1.1 空间几何体的结构特征

  • 1.1.1 柱体
    • 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
    • 分类：直棱柱（侧棱垂直于底面）、斜棱柱（侧棱不垂直于底面）。
    • 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
  • 1.1.2 锥体
    • 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。
    • 分类：正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心）。
  • 1.1.3 台体
    • 定义：由一个锥体用平行于底面的平面所截得到的几何体。
    • 分类：正棱台（由正棱锥截得的台体）。
  • 1.1.4 球体
    • 定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合。
    • 球心、半径、直径
  • 1.1.5 简单组合体
    • 定义：由几个简单几何体组合而成的几何体。
    • 构成方式：拼接、截取等。

• 1.2 空间几何体的三视图和直观图

  • 1.2.1 三视图
    • 定义：正视图（从前往后看）、侧视图（从左往右看）、俯视图（从上往下看）。
    • 投影规则：长对正，高平齐，宽相等。
    • 还原：根据三视图还原空间几何体。
  • 1.2.2 直观图
    • 斜二测画法：平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，夹角变为45°或135°。

• 1.3 空间几何体的表面积与体积

  • 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
    • 棱柱：S表 = 2S底 + S侧, V = S底h
    • 棱锥：S表 = S底 + S侧, V = (1/3)S底h
    • 棱台：S表 = S上底 + S下底 + S侧, V = (1/3)h(S上底 + S下底 + √(S上底*S下底))
  • 1.3.2 球体的表面积与体积
    • S表 = 4πR²
    • V = (4/3)πR³

二、 直线与方程

• 2.1 直线的斜率与方程

  • 2.1.1 直线的斜率
    • 定义：tanα (α为倾斜角，α ≠ 90°)。
    • 计算公式：k = (y2-y1)/(x2-x1) (x1 ≠ x2)。
  • 2.1.2 直线的方程
    • 点斜式：y - y1 = k(x - x1)
    • 斜截式：y = kx + b
    • 两点式：(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1) (x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)
    • 截距式：x/a + y/b = 1 (a,b 分别为x,y轴上的截距)
    • 一般式：Ax + By + C = 0 (A,B不同时为0)
  • 2.1.3 倾斜角
    • 定义：直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角。
    • 范围：[0, π)

• 2.2 直线的位置关系

  • 2.2.1 两条直线平行
    • 斜率存在时：k1 = k2, b1 ≠ b2
    • 一般式：A1B2 - A2B1 = 0, A1C2 - A2C1 ≠ 0
  • 2.2.2 两条直线垂直
    • 斜率存在时：k1k2 = -1
    • 一般式：A1A2 + B1B2 = 0
  • 2.2.3 两条直线相交
    • 斜率存在时：k1 ≠ k2
    • 一般式：A1B2 - A2B1 ≠ 0

• 2.3 直线方程的应用

  • 2.3.1 点到直线的距离
    • 公式：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)
  • 2.3.2 两平行线间的距离
    • 公式：d = |C1 - C2| / √(A² + B²) (其中A、B相同)
  • 2.3.3 求交点坐标
    • 解直线方程组。
  • 2.3.4 简单的线性规划问题 (了解)
    • 可行域、目标函数、最优解。

三、 圆与方程

• 3.1 圆的标准方程和一般方程

  • 3.1.1 圆的标准方程
    • (x - a)² + (y - b)² = r² (圆心(a,b)，半径r)
  • 3.1.2 圆的一般方程
    • x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² - 4F > 0)
    • 圆心：(-D/2, -E/2)
    • 半径：r = √(D²/4 + E²/4 - F)

• 3.2 直线与圆的位置关系

  • 3.2.1 几何法
    • 圆心到直线的距离d
    • d > r：相离
    • d = r：相切
    • d < r：相交
  • 3.2.2 代数法
    • 联立直线和圆的方程，消去一个变量，得到一元二次方程。
    • Δ > 0：相交
    • Δ = 0：相切
    • Δ < 0：相离

• 3.3 圆与圆的位置关系 (了解)

  • 3.3.1 外离
    • d > R + r
  • 3.3.2 外切
    • d = R + r
  • 3.3.3 相交
    • |R - r| < d < R + r
  • 3.3.4 内切
    • d = |R - r|
  • 3.3.5 内含
    • d < |R - r|
    • d：圆心距, R,r: 两圆半径

• 3.4 圆的方程的应用

  • 3.4.1 求圆的切线方程
    • 已知切点：先求出切线的斜率，再利用点斜式。
    • 已知斜率：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出切线的截距。
  • 3.4.2 求圆的弦长
    • 利用勾股定理。
  • 3.4.3 对称问题
    • 直线关于点对称，点关于直线对称。 四、 空间向量与立体几何

  • 4.1 空间向量及其运算

    • 4.1.1 空间向量的概念
      • 定义：具有大小和方向的量。
      • 零向量、单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量。
    • 4.1.2 空间向量的线性运算
      • 加法、减法、数乘。
      • 运算律：交换律、结合律、分配律。
      • 共线向量定理：向量a与非零向量b共线 <-> 存在唯一实数λ, 使得a = λb
    • 4.1.3 空间向量的基本定理
      • 如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数对x,y,z，使得 p = xa + yb + zc.
      • 推论：如果O、A、B、C四点不共面，则对空间任意一点P都存在唯一的有序实数对x, y, z，使OP = xOA + yOB + zOC, 且x+y+z = 1.
    • 4.1.4 空间向量的数量积
      • 定义：a·b = |a||b|cosθ (θ为a与b的夹角)
      • 运算律：交换律、分配律。
      • 坐标表示：a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2), a·b = x1x2 + y1y2 + z1z2
      • a⊥b <-> a·b = 0

  • 4.2 空间向量的应用

    • 4.2.1 空间两点间的距离
      • 公式：|AB| = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]
    • 4.2.2 异面直线所成的角
      • 公式：cosθ = |(a·b) / (|a||b|)| (a,b为异面直线方向向量)
    • 4.2.3 直线与平面所成的角
      • 公式：sinθ = |(a·n) / (|a||n|)| (a为直线方向向量，n为平面法向量)
    • 4.2.4 二面角
      • 求法向量：找出两个平面的法向量, 然后用向量的数量积求夹角。
      • 公式：cosθ = |(n1·n2) / (|n1||n2|)| (n1, n2为二面角两个面的法向量)
    • 4.2.5 点到平面的距离
      • 公式：d = |(AP·n) / |n|| (A为平面外一点，P为平面内一点，n为平面法向量)
    • 4.2.6 平行与垂直的判定
      • 直线与平面平行：a·n = 0 (a为直线方向向量，n为平面法向量)
      • 直线与平面垂直：a // n (a为直线方向向量，n为平面法向量)
      • 平面与平面平行: n1 // n2 (n1, n2为两平面法向量)
      • 平面与平面垂直: n1·n2 = 0 (n1, n2为两平面法向量)