高中数学必修二思维导图
《高中数学必修二思维导图》
一、空间几何初步
1.1 空间几何体的结构特征
1.1.1 柱体
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的多面体叫做棱柱。
- 分类：直棱柱、斜棱柱、正棱柱
- 特征：
- 上下底面平行且全等
- 侧棱平行且相等
- 直棱柱侧棱垂直于底面
- 表面积：$S{侧} + 2S{底}$
- 体积：$V = S_{底} \cdot h$
1.1.2 锥体
- 定义：底面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥。
- 分类：正棱锥、斜棱锥
- 特征：
- 底面是多边形
- 侧面是三角形且有公共顶点
- 正棱锥顶点在底面上的投影是底面的中心
- 表面积：$S{侧} + S{底}$
- 体积：$V = \frac{1}{3}S_{底} \cdot h$
1.1.3 台体
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台。
- 分类：正棱台、斜棱台
- 特征：上下底面平行且相似
- 表面积：$S{侧} + S{上底} + S_{下底}$
- 体积：$V = \frac{1}{3}h(S{上底} + S{下底} + \sqrt{S{上底}S{下底}})$
1.1.4 球体
- 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体。
- 特征：球面上任意一点到球心的距离都相等
- 表面积：$S = 4\pi R^2$
- 体积：$V = \frac{4}{3}\pi R^3$
1.1.5 简单组合体
- 定义：由柱体、锥体、台体、球体等几何体组合而成的。
- 计算：利用分割法或补形法计算体积和表面积。
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 三视图
- 定义：正视图（从前向后看）、侧视图（从左向右看）、俯视图（从上向下看）
- 规则：
- 长对正、高平齐、宽相等
- 看得见轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线
- 应用：由三视图还原几何体
1.2.2 直观图
- 斜二测画法：
- x轴与水平线夹角45°(或135°)，y轴竖直
- 平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半
1.3 空间几何体的表面积与体积
- 掌握各种几何体的表面积和体积公式
- 利用公式解决实际问题
二、点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面
- 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
- 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
- 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
- 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2.2 直线与直线平行
- 异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。
- 异面直线所成的角：
- 定义：过空间一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角(或直角)叫做这两条异面直线所成的角。
- 取值范围：$(0, \frac{\pi}{2}]$
- 直线与直线平行的判定定理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
- 直线与直线平行的性质定理：如果两条平行线中的一条在一个平面内，另一条也在这个平面内。
2.3 直线与平面平行
- 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
- 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
2.4 平面与平面平行
- 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
- 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2.5 直线与平面垂直
- 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
- 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2.6 平面与平面垂直
- 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
- 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2.7 空间角
- 异面直线所成的角
- 直线与平面所成的角：
- 定义：直线和它在平面上的射影所成的角。
- 取值范围：$[0, \frac{\pi}{2}]$
- 二面角：
- 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
- 平面角：在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
- 取值范围：$[0, \pi]$
三、直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
- 倾斜角：
- 定义：x轴正向与直线向上方向所成的角。
- 范围：$[0, \pi)$
- 斜率：
- 定义：$k = tan\alpha$， $\alpha$为倾斜角
- 公式：$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
3.2 直线的方程
- 点斜式：$y - y_0 = k(x - x_0)$
- 斜截式：$y = kx + b$
- 两点式：$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
- 截距式：$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
- 一般式：$Ax + By + C = 0$
3.3 直线的交点坐标与距离公式
- 两直线平行：
- $l_1: y = k_1x + b_1, l_2: y = k_2x + b_2$, $k_1 = k_2, b_1 \neq b_2$
- $l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0, l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$, $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$
- 两直线垂直：
- $l_1: y = k_1x + b_1, l_2: y = k_2x + b_2$, $k_1k_2 = -1$
- $l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0, l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$, $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$
- 交点坐标：解方程组得到交点坐标
- 点到直线的距离：$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
- 两平行线间的距离: $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ (要求两平行线方程的形式为 $Ax + By + C_1 = 0$ 和 $Ax + By + C_2 = 0$)
四、圆与方程
4.1 圆的方程
- 标准方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, 圆心(a, b), 半径r
- 一般方程：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, 圆心$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$, 半径$r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$ (要求$D^2 + E^2 - 4F > 0$)
4.2 直线与圆的位置关系
- 代数方法：联立直线与圆的方程，判断判别式 $\Delta$ 的符号
- $\Delta > 0$: 相交
- $\Delta = 0$: 相切
- $\Delta < 0$: 相离
- 几何方法：比较圆心到直线的距离d和半径r的大小
- $d < r$: 相交
- $d = r$: 相切
- $d > r$: 相离
4.3 圆与圆的位置关系
- 比较圆心距d和两圆半径之和(R+r)以及两圆半径之差|R-r|的大小
- $d > R + r$: 外离
- $d = R + r$: 外切
- $|R - r| < d < R + r$: 相交
- $d = |R - r|$: 内切
- $0 \le d < |R - r|$: 内含
4.4 空间直角坐标系
- 定义：在空间中取一定点O和一个互相垂直的三条数轴Ox, Oy, Oz, 这个点O叫做坐标原点，三条数轴叫做坐标轴。
- 坐标：$P(x, y, z)$
- 两点间的距离公式：$|P_1P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
