《八年级下册第九章思维导图数学》
一、不等式及其基本性质
1. 不等式的概念
- 定义: 用不等号连接起来的式子，表示数量之间不相等的关系。
- 不等号类型: > (大于)，< (小于)，≥ (大于等于，也称不小于)，≤ (小于等于，也称不大于)，≠ (不等于)。
- 表示: 例如： a > b， x ≤ 5， m ≠ 2。
- 应用: 表示实际生活中的数量关系，如身高、体重、年龄等的比较。
2. 不等式的基本性质
- 性质1: 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 (若 a > b，则 a + c > b + c， a - c > b - c)。
- 性质2: 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 (若 a > b，且 c > 0，则 ac > bc， a/c > b/c)。
- 性质3: 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 (若 a > b，且 c < 0，则 ac < bc， a/c < b/c)。
- 注意: 性质3是解不等式的重要依据，特别注意负数的影响。
- 推论: 掌握性质的逆用，如从 ac > bc 且 c > 0 推导出 a > b。
二、一元一次不等式
1. 一元一次不等式的概念
- 定义: 含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的式子。
- 一般形式: ax > b (a ≠ 0)， ax < b (a ≠ 0)， ax ≥ b (a ≠ 0)， ax ≤ b (a ≠ 0)，其中a、b为常数。
- 判断: 能正确识别一元一次不等式，注意系数是否为0。
- 举例: 2x + 3 > 0， -x ≤ 5， 0.5x - 1 < 2 都是一元一次不等式。
2. 解一元一次不等式
- 解的定义: 使不等式成立的未知数的值。
- 解不等式的基本步骤:
- 去分母: 不等式两边同乘以分母的最小公倍数 (注意：若乘以负数，要改变不等号方向)。
- 去括号: 按照先去小括号，再去中括号，最后去大括号的顺序进行。
- 移项: 将含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边 (注意：移项要改变符号)。
- 合并同类项: 合并未知数项和常数项。
- 系数化为1: 不等式两边同除以未知数的系数 (注意：若除以负数，要改变不等号方向)。
- 解的表示: 用 x > a， x < a， x ≥ a， x ≤ a 的形式表示不等式的解集。
- 解集的数轴表示: 用数轴直观地表示不等式的解集。 注意空心圈（不包含）和实心点（包含）的区别。
- 易错点: 忘记变号，系数化为1时除以负数。
三、一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的概念
- 定义: 由几个含有一个相同未知数的一元一次不等式所组成的不等式组。
- 表示: 用花括号 "{ } " 将几个不等式组合在一起。
- 举例: { x > 2, x < 5 }
2. 一元一次不等式组的解集
- 定义: 使得不等式组中所有不等式都成立的未知数的值。
- 解不等式组的步骤:
- 分别解出不等式组中每一个不等式的解集。
- 在数轴上表示出每个不等式的解集。
- 根据数轴确定不等式组的解集。
- 解集的四种情况:
- x > a, x > b (a < b): 解集为 x > b （同大取大）
- x < a, x < b (a < b): 解集为 x < a （同小取小）
- x > a, x < b (a < b): 解集为 a < x < b （大小小大取中间）
- x > a, x < b (a > b): 无解 （大小小大无解）
- 口诀: 同大取大，同小取小，大小小大取中间，大小小大无解。
- 无解的情况: 两个不等式的解集在数轴上没有公共部分。
四、不等式（组）的应用
1. 列不等式（组）解决实际问题
- 审题: 认真阅读题目，理解题意，找出已知量和未知量，明确数量关系。
- 设未知数: 根据题意，选择合适的未知数。
- 列不等式（组）: 根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组。 常用的不等关系关键词包括：大于、小于、不大于、不小于、超过、至少、至多等。
- 解不等式（组）: 解出所列的不等式或不等式组。
- 检验: 检验解是否符合题意，注意实际意义的限制 (如人数不能为负数，长度不能为负数等)。
- 作答: 写出完整的答案。
2. 常见的应用类型
- 方案选择问题: 比较不同方案的费用，选择最优方案。
- 配套问题: 根据数量关系，确定两种或多种物品的搭配方案。
- 行程问题: 根据速度、时间、路程的关系，解决不等关系的行程问题。
- 增长率问题: 根据增长率，列出不等式解决相关问题。
- 利润问题: 根据成本、售价、利润的关系，列出不等式解决相关问题。
3. 注意事项
- 单位统一: 在列不等式（组）之前，确保各数量的单位一致。
- 隐含条件: 注意题目中可能存在的隐含条件，如非负性等。
- 实际意义: 解答完毕后，要结合实际意义进行检验和解释。
五、总结
- 不等式的性质是解不等式的基础，要牢固掌握。
- 解一元一次不等式组的关键是分别解出每个不等式的解集，并正确地在数轴上表示出来。
- 利用不等式（组）解决实际问题，需要认真审题，理解题意，抓住关键词，准确列出不等式（组）。
- 在解决实际问题时，要注意解的实际意义，并进行检验。
这个思维导图涵盖了八年级下册第九章的主要内容，包括不等式的概念、性质、解法以及应用。通过对这些知识点的梳理，可以帮助学生更好地理解和掌握本章内容。