《七年级下册数学思维导图人教版》

一、 相交线与平行线

1.1 相交线

1.1.1 对顶角

• 定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角互为对顶角。
• 性质：对顶角相等。
• 应用：求角度，证明角相等。

1.1.2 邻补角

• 定义：两条直线相交后形成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。
• 性质：邻补角互补，即和为180°。
• 应用：求角度，证明角之间的关系。

1.1.3 垂线

• 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
• 表示方法：a⊥b，读作“a垂直于b”。
• 垂线的性质：
  • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
  • 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（简称：垂线段最短）
• 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
• 应用：作垂线，求距离，证明线段最短。

1.1.4 同位角、内错角、同旁内角

• 定义：在两条直线被第三条直线所截时，形成的角。
  • 同位角：在截线的同旁，在被截线的同一方向的角。
  • 内错角：在截线的异旁，在被截线之间的角。
  • 同旁内角：在截线的同旁，在被截线之间的角。
• 应用：判断角的类型，为平行线的判定和性质做准备。

1.2 平行线

1.2.1 平行线的定义与表示

• 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
• 表示方法：a∥b，读作“a平行于b”。

1.2.2 平行公理及其推论

• 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
• 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（平行于同一条直线的两条直线平行）

1.2.3 平行线的判定

• 同位角相等，两直线平行。
• 内错角相等，两直线平行。
• 同旁内角互补，两直线平行。
• 垂直于同一条直线的两条直线平行。

1.2.4 平行线的性质

• 两直线平行，同位角相等。
• 两直线平行，内错角相等。
• 两直线平行，同旁内角互补。

1.2.5 平移

• 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
• 平移的性质：
  • 平移不改变图形的形状和大小。
  • 经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等。
• 应用：图案设计，解决实际问题。

二、 实数

2.1 平方根

2.1.1 算术平方根

• 定义：如果一个正数x的平方等于a，即x² = a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记作 √a。
• 性质：非负性：a≥0，√a≥0。
• 应用：化简，求值。

2.1.2 平方根

• 定义：如果一个数x的平方等于a，即x² = a，那么这个数x叫做a的平方根。
• 表示方法：±√a
• 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
• 应用：解方程，化简。

2.2 立方根

2.2.1 定义

• 如果一个数x的立方等于a，即x³ = a，那么这个数x叫做a的立方根。
• 表示方法：³√a

2.2.2 性质

• 一个数只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
• 应用：解方程，化简。

2.3 实数

2.3.1 定义

• 有理数和无理数统称为实数。

2.3.2 实数的分类

• 按定义分：
  • 实数{ 有理数{ 正有理数, 0, 负有理数}, 无理数{ 正无理数, 负无理数} }
• 按性质分：
  • 实数{ 正实数, 0, 负实数}

2.3.3 实数与数轴

• 实数与数轴上的点一一对应。

2.3.4 实数的大小比较

• 数轴上右边的数总比左边的数大。
• 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。

2.3.5 在实数范围内解方程

• 利用平方根和立方根的定义来解简单的方程。

三、 二元一次方程组

3.1 二元一次方程

3.1.1 定义

• 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

3.1.2 二元一次方程的解

• 使二元一次方程两边都相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

3.2 二元一次方程组

3.2.1 定义

• 由两个二元一次方程组成，并且含有两个相同的未知数的方程组叫做二元一次方程组。

3.2.2 二元一次方程组的解

• 使二元一次方程组的两个方程都成立的一组未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

3.3 解二元一次方程组

3.3.1 代入消元法

• 将一个方程中的未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程来解。

3.3.2 加减消元法

• 通过将两个方程适当变形，使其中一个未知数的系数相同或互为相反数，然后将两个方程相加或相减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程来解。

3.4 二元一次方程组的应用

• 列方程组解应用题的步骤：
  1. 审题，找出已知量和未知量，设未知数。
  2. 找出等量关系，列出方程组。
  3. 解方程组。
  4. 检验，并写出答案。

四、 不等式与不等式组

4.1 不等式

4.1.1 定义

• 用不等号连接起来的式子，叫做不等式。
• 不等号：＞，＜，≥，≤，≠。

4.1.2 不等式的性质

• 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
• 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
• 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4.2 不等式的解集

4.2.1 定义

• 使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解集。

4.2.2 在数轴上表示不等式的解集

• 用“空心圆圈”表示不包含这个点，用“实心圆点”表示包含这个点。

4.3 一元一次不等式

4.3.1 定义

• 含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

4.3.2 解一元一次不等式

• 类比解一元一次方程，注意不等号的方向变化。

4.4 一元一次不等式组

4.4.1 定义

• 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

4.4.2 解一元一次不等式组

• 分别解出每个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，取公共部分，即为不等式组的解集。

4.4.3 一元一次不等式组的解集情况

• 解集是公共部分。
• 无解的情况。

4.4.4 一元一次不等式组的应用

• 列不等式组解应用题。

五、 数据的收集、整理与描述

5.1 数据的收集

• 普查：对所有对象进行调查。
• 抽样调查：抽取一部分对象进行调查。

5.2 数据的整理

• 整理数据，制作统计表。

5.3 数据的描述

5.3.1 统计图

• 条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。
• 扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
• 折线统计图：能清楚地反映数据的变化趋势。

5.3.2 平均数

• 算术平均数：所有数据的和除以数据的个数。
• 加权平均数：每个数据乘以它的权，再求和，最后除以权的和。

5.3.3 众数

• 一组数据中出现次数最多的数据。

5.3.4 中位数

• 将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置的数据。

5.3.5 方差与标准差

• 方差：各数据与其平均数差的平方的平均数。
• 标准差：方差的算术平方根。
• 作用：反映数据的波动程度。

六、 总结

• 七年级下册数学内容涵盖了数与式、方程、不等式、几何图形、数据分析等多个方面，为后续学习打下坚实的基础。理解概念，掌握方法，并注重实践应用，是学好数学的关键。

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