《人教版七年级下册数学思维导图》
一、 第五章：相交线与平行线
1. 相交线
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1.1 邻补角、对顶角
* **定义：** * 邻补角：两条直线相交所形成的四个角中，相邻且互补的两个角。 * 对顶角：两条直线相交所形成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角互为对顶角。 * **性质：** * 对顶角相等。 * **关系：** * 一个角只有一个邻补角，但有两个对顶角。 -
1.2 垂线
* **定义：** * 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 * **性质：** * 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 * 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（垂线段最短） * **点到直线的距离：** * 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 -
1.3 同位角、内错角、同旁内角
* **定义：** * 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的同一方的角。 * 内错角：两条直线被第三条直线所截，在截线的两侧，在两条直线之间的角。 * 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，在两条直线之间的角。 * **位置关系识别：** * 关键在于两条直线被第三条直线所截。
2. 平行线
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2.1 平行线的定义与表示
* **定义：** * 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 * **表示：** * 直线 AB平行于直线 CD，记作 AB∥CD。 -
2.2 平行公理及推论
* **平行公理：** * 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 * **平行公理的推论：** * 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 -
2.3 平行线的判定
* **判定方法1：** * 同位角相等，两直线平行。 * **判定方法2：** * 内错角相等，两直线平行。 * **判定方法3：** * 同旁内角互补，两直线平行。 -
2.4 平行线的性质
* **性质1：** * 两直线平行，同位角相等。 * **性质2：** * 两直线平行，内错角相等。 * **性质3：** * 两直线平行，同旁内角互补。 -
2.5 平移
* **定义：** * 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 * **性质：** * 平移不改变图形的形状和大小。 * 连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
二、 第六章：实数
1. 算术平方根
- 1.1 定义：
- 如果一个正数x的平方等于a，即x² = a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
- 0的算术平方根是0。
- 记作 √a (a≥0)。
- 1.2 性质：
- 具有非负性，即 a ≥ 0，√a ≥ 0。
2. 平方根
- 2.1 定义：
- 如果一个数x的平方等于a，即x² = a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根。
- 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
- a 的平方根记作 ±√a (a≥0)。
- 2.2 开平方：
- 求一个数的平方根的运算叫做开平方。
3. 立方根
- 3.1 定义：
- 如果一个数x的立方等于a，即x³ = a，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根。
- 记作 ∛a 。
- 3.2 性质：
- 正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0。
- 3.3 开立方：
- 求一个数的立方根的运算叫做开立方。
4. 实数
- 4.1 定义：
- 有理数和无理数统称为实数。
- 4.2 分类：
- 按定义分：实数 = {有理数，无理数}
- 按性质分：实数 = {正实数，0，负实数}
- 4.3 实数与数轴的关系：
- 实数与数轴上的点一一对应。
- 4.4 算术平方根、平方根、立方根的区别和联系
5. 估算
- 5.1 估算平方根和立方根的大小。
- 5.2 通过估算解决简单的实际问题。
三、 第七章：平面直角坐标系
1. 有序数对
- 1.1 定义：
- 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作(a,b)。
- 1.2 特点：
- (a,b)与(b,a)表示不同的位置。
- 有序数对可以确定平面内点的位置。
2. 平面直角坐标系
- 2.1 定义：
- 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
- 2.2 组成要素：
- 横轴（x轴）：水平的数轴，向右为正方向。
- 纵轴（y轴）：垂直的数轴，向上为正方向。
- 原点：横轴和纵轴的交点。
- 单位长度：两条数轴上选取的长度单位要一致。
- 2.3 象限：
- 平面直角坐标系将平面分成四个部分，依次叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
- 2.4 点的坐标：
- 横坐标：点在x轴上的投影值。
- 纵坐标：点在y轴上的投影值。
- 坐标表示方法：(x,y)，x是横坐标，y是纵坐标。
- 2.5 特殊位置的点的坐标：
- x轴上的点：(x,0)
- y轴上的点：(0,y)
- 原点：(0,0)
- 2.6 坐标轴上的点不属于任何象限。
3. 坐标的应用
- 3.1 用坐标表示地理位置
- 3.2 用坐标表示平移
- 点(x,y)向上平移a个单位，得到(x,y+a)。
- 点(x,y)向下平移a个单位，得到(x,y-a)。
- 点(x,y)向左平移a个单位，得到(x-a,y)。
- 点(x,y)向右平移a个单位，得到(x+a,y)。
四、 第八章：二元一次方程组
1. 二元一次方程
- 1.1 定义：
- 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 1.2 一般形式：
- ax + by = c (a,b不同时为0)。
- 1.3 解的定义：
- 使二元一次方程两边都相等的两个未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
2. 二元一次方程组
- 2.1 定义：
- 把两个二元一次方程合在一起，组成一个二元一次方程组。
- 2.2 解的定义：
- 使二元一次方程组的两个方程都成立的两个未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。
3. 解二元一次方程组
- 3.1 代入消元法
- 将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，实现消元。
- 3.2 加减消元法
- 通过将两个方程适当变形，使得某个未知数的系数相等或互为相反数，然后将两个方程相加或相减，实现消元。
4. 二元一次方程组的应用
- 4.1 列方程组解决实际问题：
- 审题、设未知数、列方程组、解方程组、检验、写答。
- 常见的应用题类型：
- 行程问题：路程 = 速度 × 时间
- 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间
- 利润问题：利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 / 进价 × 100%
- 数字问题
- 配套问题
五、 第九章：不等式与不等式组
1. 不等式
- 1.1 定义：
- 用不等号（>，<，≥，≤，≠）连接起来的式子叫做不等式。
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1.2 不等式的基本性质
* **性质1：**不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 * 若a > b，则a + c > b + c，a - c > b - c * **性质2：**不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 * 若a > b，且c > 0，则ac > bc，a/c > b/c * **性质3：**不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 * 若a > b，且c < 0，则ac < bc，a/c < b/c -
1.3 不等式的解集
* **定义：**能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 * **解集：**一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 - 1.4 在数轴上表示不等式的解集
- "＞"或"＜"用空心圆圈，"≥"或"≤"用实心圆点。
- 大于向右画，小于向左画。
2. 一元一次不等式
- 2.1 定义：
- 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
- 2.2 解法：
- 类似于解一元一次方程，但要注意不等式性质3，即当两边同乘或除以一个负数时，要改变不等号的方向。
3. 一元一次不等式组
- 3.1 定义：
- 把几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组。
- 3.2 解集：
- 不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。
- 3.3 解法：
- 分别解出每一个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，取公共部分。
- 3.4 特殊情况：
- 无解：两个不等式的解集没有公共部分。
- 解集为某个区间：根据各不等式的解集的包含关系确定。
4. 不等式(组)的应用
- 4.1 列不等式(组)解决实际问题：
- 审题、设未知数、列不等式(组)、解不等式(组)、检验、写答。
- 关注题目中的关键词，如“至少”，“最多”，“不大于”，“不小于”等。
六、 第十章：数据的收集、整理与描述
1. 数据的收集
- 1.1 调查方式：
- 普查：考察全体对象。适用于总体数量较少的情况。
- 抽样调查：抽取一部分对象进行考察。适用于总体数量较多或不宜进行普查的情况。
- 1.2 样本的选取：
- 样本应具有代表性。
- 随机抽样：使得每一个个体都有同等的机会被选入样本。
- 1.3 数据来源的多样性：
- 报刊、杂志、网络、书籍、调查问卷等。
2. 数据的整理
- 2.1 统计表：
- 条形统计表
- 折线统计表
- 扇形统计表
- 2.2 分组整理：
- 确定组数和组距。
- 进行统计，记录频数。
- 绘制频率分布表或频率分布直方图。
3. 数据的描述
- 3.1 统计图：
- 条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。
- 折线统计图：能清楚地反映事物的变化趋势。
- 扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
- 3.2 平均数：
- 算术平均数：所有数据的和除以数据的个数。
- 加权平均数：考虑每个数据的权重的平均数。
- 3.3 中位数：
- 将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置的数。如果数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数。
- 3.4 众数：
- 一组数据中出现次数最多的数。
- 3.5 数据的集中趋势的度量：
- 平均数、中位数和众数都能反映一组数据的集中趋势。
- 在具体问题中，要根据实际情况选择合适的统计量来描述数据的特征。
- 3.6 数据离散程度的度量：
- 极差：最大值与最小值之差。
- 方差和标准差（七年级不要求掌握）：描述数据偏离平均数的程度。
4. 数据的分析与决策
- 4.1 从数据中获取信息，做出合理的推断和决策。
- 4.2 评价不同数据的代表性。
- 4.3 理解统计在生活中的应用。