《五年级上册数学思维导图图片》

一、小数乘法

1. 小数乘整数

1.1 意义

• 与整数乘法的意义相同：求几个相同加数的和的简便运算。

1.2 计算方法

• 先把小数看作整数。
• 按照整数乘法的法则算出积。
• 再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
• 积的小数部分末尾有0，要去掉末尾的0，化简。

1.3 应用

• 解决实际问题：例如计算单价和数量已知，求总价。

2. 小数乘小数

2.1 意义

• 求一个数的几分之几是多少。（例如：1.5×0.8表示1.5的十分之八是多少）

2.2 计算方法

• 先把小数看作整数。
• 按照整数乘法的法则算出积。
• 再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
• 积的小数部分末尾有0，要去掉末尾的0，化简。
• 位数不够的，用0补足。

2.3 积与因数的大小比较

• 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。
• 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
• 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于原来的数。

2.4 应用

• 解决更复杂的实际问题，例如：计算面积，计算不同单价商品的总价。

3. 积的近似数

3.1 方法

• 先算出准确值，再按要求用“四舍五入”法取近似数。

3.2 注意

• 保留整数，表示精确到个位。
• 保留一位小数，表示精确到十分位。
• 保留两位小数，表示精确到百分位。

4. 整数乘法运算定律推广到小数

4.1 乘法交换律

• a × b = b × a

4.2 乘法结合律

• (a × b) × c = a × (b × c)

4.3 乘法分配律

• (a + b) × c = a × c + b × c
• (a - b) × c = a × c - b × c

4.4 应用

• 简便计算：灵活运用运算定律进行简便计算，提高计算效率。

二、位置

1. 数对的含义

1.1 定义

• 用有顺序的两个数表示一个确定的位置，这两个数组成数对。

1.2 表示方法

• 先写列数，再写行数，中间用逗号隔开，用括号括起来。(列, 行)

1.3 确定位置

• 列：从左往右数，第几列。
• 行：从下往上数，第几行。

2. 数对的应用

2.1 描述位置

• 在方格纸上确定物体的位置。
• 在地图上确定城市的位置。
• 在电影院等场所确定座位的位置。

2.2 确定图形的顶点位置

• 用数对表示图形各个顶点的位置。

2.3 绘制简单的平面图

• 根据数对在方格纸上绘制简单的平面图。

三、小数除法

1. 小数除以整数

1.1 意义

• 与整数除法的意义相同：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

1.2 计算方法

• 按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
• 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
• 整数部分不够除，商0，点上小数点。

2. 除数是小数的除法

2.1 计算方法

• 先把除数变成整数。
• 看除数的小数点向右移动了几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够的，用0补足。
• 然后按照除数是整数的除法进行计算。

3. 商的近似数

3.1 方法

• 先算出准确值，再按要求用“四舍五入”法取近似数。

3.2 注意

• 除法计算时，比需要保留的小数位数多除一位。

4. 循环小数

4.1 定义

• 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

4.2 循环节

• 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。

4.3 简便记法

• 在循环节的首位和末位数字上各点一个圆点，或者在循环节的上方画一条横线。

5. 用计算器探索规律

5.1 探索规律

• 利用计算器进行计算，找出数字排列的规律。

5.2 应用规律

• 利用规律进行推算，解决相关问题。

6. 解决问题

6.1 总价、数量、单价之间的关系

• 单价 × 数量 = 总价
• 总价 ÷ 数量 = 单价
• 总价 ÷ 单价 = 数量

6.2 其他实际问题

• 解决与小数除法相关的实际问题，例如：平均数问题，分配问题等。

四、简易方程

1. 用字母表示数

1.1 意义

• 用字母表示数，可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。

1.2 注意事项

• 在含有字母的乘法算式中，乘号可以写成“·”，也可以省略不写。
• 数字和字母相乘，省略乘号时，要把数字写在字母的前面。
• 数字1与字母相乘，1可以省略不写。
• 加号、减号、除号都不能省略。

2. 方程的意义

2.1 定义

• 含有未知数的等式，叫做方程。

2.2 方程的要素

• 必须是等式。
• 必须含有未知数。

3. 解方程

3.1 定义

• 求方程的解的过程叫做解方程。

3.2 解的意义

• 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

3.3 解方程的方法

• 等式的性质：
  • 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
  • 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），左右两边仍然相等。
• 运用加减乘除各部分之间的关系进行解方程。

4. 列方程解决问题

4.1 分析数量关系

• 找出题中的等量关系。

4.2 设定未知数

• 一般设所求的量为x。

4.3 列出方程

• 根据等量关系列出方程。

4.4 解方程

• 解出方程，求出未知数的值。

4.5 检验

• 检验解是否符合题意，并写出答案。

五、多边形的面积

1. 平行四边形的面积

1.1 公式

• 面积 = 底 × 高 (S = ah)

1.2 推导

• 通过割补法将平行四边形转化成长方形。

2. 三角形的面积

2.1 公式

• 面积 = 底 × 高 ÷ 2 (S = ah ÷ 2)

2.2 推导

• 通过将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。

3. 梯形的面积

3.1 公式

• 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h ÷ 2)

3.2 推导

• 通过将两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形。

4. 组合图形的面积

4.1 方法

• 分割法：将组合图形分割成几个简单的基本图形。
• 添补法：将组合图形添补成一个简单的基本图形。

4.2 注意

• 根据图形的特点选择合适的方法。
• 注意寻找隐藏的条件。

5. 不规则图形的面积估算

5.1 方法

• 将不规则图形放在方格纸上，数出完整的格子数和不完整的格子数，估算出面积。
• 将不规则图形近似地看作一些规则图形进行估算。

六、统计与可能性

1. 可能性大小

1.1 可能性

• 表示事情发生的可能性。

1.2 可能性大小的判断

• 数量越多，发生的可能性越大。
• 数量越少，发生的可能性越小。

1.3 公平性

• 当所有结果出现的可能性相等时，游戏才是公平的。

2. 设计公平的游戏规则

2.1 原则

• 保证每个参与者获胜的可能性相同。

2.2 方法

• 利用颜色、数字、形状等进行设计，确保每种情况出现的概率相同。

七、数学广角——植树问题

1. 植树问题分类

1.1 两端都栽

• 棵数 = 间隔数 + 1
• 间隔数 = 棵数 - 1
• 总长 = 间隔数 × 间隔长度
• 间隔长度 = 总长 ÷ 间隔数

1.2 一端栽一端不栽

• 棵数 = 间隔数
• 总长 = 间隔数 × 间隔长度
• 间隔长度 = 总长 ÷ 间隔数

1.3 两端都不栽

• 棵数 = 间隔数 - 1
• 间隔数 = 棵数 + 1
• 总长 = 间隔数 × 间隔长度
• 间隔长度 = 总长 ÷ 间隔数

1.4 封闭图形植树

• 棵数 = 间隔数

2. 植树问题的应用

2.1 实际问题

• 解决与植树相关的实际问题，例如：路灯安装、花坛布置等。

2.2 推广

• 将植树问题的思维方式推广到其他类似问题中。

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