《思维导图数学六年级上》

一、 数与代数

1.1 分数乘法

1.1.1 分数乘整数

• 概念： 求几个相同分数的和的简便运算。
• 计算方法： 分子与整数相乘的积作分子，分母不变。
• 注意： 计算结果能约分的要约成最简分数。
• 例题： 1/3 × 4 = (1×4)/3 = 4/3

1.1.2 分数乘分数

• 概念： 求一个数的几分之几是多少。
• 计算方法： 分子乘分子作分子，分母乘分母作分母。
• 注意：
  • 计算前先观察是否可以约分，将分子和分母进行约分，再计算。
  • 结果必须是最简分数。
• 例题： 2/5 × 3/4 = (2×3)/(5×4) = 6/20 = 3/10

1.1.3 分数乘法的应用

• 求一个数的几分之几是多少: 用乘法计算。
  • 例题： 一堆煤重 12 吨，运走 1/3，运走了多少吨？ 12 × 1/3 = 4 (吨)
• 稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题: 找准单位“1”，分析数量关系。
  • 例题： 一本书有 120 页，第一天看了全书的 1/4，第二天看了第一天的 1/2，第二天看了多少页？ 120 × 1/4 × 1/2 = 15 (页)

1.1.4 倒数的认识

• 概念： 乘积是 1 的两个数互为倒数。
• 求倒数的方法：
  • 分数： 交换分子和分母的位置。
  • 整数： 看作分母是 1 的分数，再交换分子和分母的位置。
  • 小数： 先化成分数，再求倒数。
• 注意：
  • 1 的倒数是 1。
  • 0 没有倒数。
  • 互为倒数的两个数只是互相依存的关系，不能单独存在。

1.2 分数除法

1.2.1 分数除以整数

• 概念： 将一个分数平均分成若干份，求每一份是多少。
• 计算方法： 除以一个整数（0 除外）等于乘这个整数的倒数。
• 例题： 2/3 ÷ 4 = 2/3 × 1/4 = 1/6

1.2.2 分数除以分数

• 概念： 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
• 计算方法： 除以一个分数等于乘这个分数的倒数。
• 例题： 3/5 ÷ 2/3 = 3/5 × 3/2 = 9/10

1.2.3 分数除法的应用

• 已知一个数的几分之几是多少，求这个数: 用除法计算。
  • 例题： 一堆煤运走了 1/3，运走了 4 吨，这堆煤共有多少吨？ 4 ÷ 1/3 = 12 (吨)
• 稍复杂的已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题: 找准单位“1”，分析数量关系。
• 比的应用： 将比转化为除法问题进行解答。

1.3 比

1.3.1 比的意义

• 概念： 两个数相除又叫做两个数的比。
• 各部分名称：
  • 比号前面的数叫比的前项。
  • 比号后面的数叫比的后项。
  • 比的前项除以后项所得的商叫比值。
• 比与除法、分数的关系：
  • 比：前项 : 后项 = 比值
  • 除法：被除数 ÷ 除数 = 商
  • 分数： 分子 / 分母 = 分数值
• 注意： 比的后项不能为 0。

1.3.2 比的基本性质

• 内容： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。
• 应用： 化简比。

1.3.3 化简比

• 方法：
  • 整数比： 前后项同时除以它们的最大公因数。
  • 分数比： 先把前后项都乘以分母的最小公倍数，化成整数比，再化简。
  • 小数比： 先把前后项都扩大相同的倍数，化成整数比，再化简。

1.3.4 比的应用

• 按比例分配: 将一个数量按照一定的比进行分配。
  • 解题步骤：
    1. 求出总份数。
    2. 求出每一份对应的数量。
    3. 求出各部分对应的数量。
  • 例题： 用 48cm 的铁丝围成一个长方形，长和宽的比是 5:3，长方形的长和宽各是多少厘米？ 48/2 = 24 (cm) 5+3=8 24/8=3(cm) 5×3=15(cm) 3×3=9(cm)

二、 空间与图形

2.1 圆的认识

2.1.1 圆的特征

• 圆心： 圆中心的一点，用字母 O 表示。
• 半径： 连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母 r 表示。
• 直径： 通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母 d 表示。
• 关系： d = 2r 或 r = d/2
• 特点：
  • 在同一个圆里，有无数条半径和无数条直径。
  • 在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。

2.1.2 圆的周长

• 概念： 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
• 圆周率： 圆的周长与直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母 π 表示，π ≈ 3.14。
• 公式：
  • C = πd
  • C = 2πr

2.1.3 圆的面积

• 概念： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。
• 公式： S = πr²
• 组合图形的面积： 将组合图形转化为已学过的基本图形，再进行计算。

三、 统计与概率

3.1 扇形统计图

3.1.1 扇形统计图的认识

• 特点： 用整个圆表示总数，用扇形表示各部分占总数的百分比。
• 优点： 能够清楚地表示出各部分数量与总数量之间的关系。

3.1.2 制作扇形统计图

• 步骤：
  1. 计算各部分数量占总数量的百分比。
  2. 计算各部分对应的扇形的圆心角。 (圆心角 = 百分比 × 360°)
  3. 绘制扇形统计图。
  4. 标注名称和百分比。

3.1.3 分析扇形统计图

• 能够根据扇形统计图，判断各部分数量的大小关系。
• 能够根据扇形统计图，解决简单的实际问题。

四、 数学广角——鸡兔同笼

4.1 鸡兔同笼问题

4.1.1 了解鸡兔同笼问题

• 特点： 已知总只数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。

4.1.2 解题方法

• 假设法：
  • 假设全是鸡： 计算出总脚数与实际总脚数的差，再求出兔的只数，最后求出鸡的只数。
  • 假设全是兔： 计算出总脚数与实际总脚数的差，再求出鸡的只数，最后求出兔的只数。
• 方程法：
  • 设鸡有 x 只，兔有 (总只数 - x) 只。
  • 根据总脚数列方程，解方程即可。
  • 例：有鸡兔共 8 只，脚 26 只，鸡兔各几只？ 设鸡有 x 只，兔有(8-x)只。 2x + 4(8-x) = 26

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