《三年级上册数学思维导图乘与除》

一、乘法

1. 乘法的意义

• 本质： 相同加数的简便运算。
• 举例： 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 4
• 概念： 求几个相同加数的和的简便运算。
• 关键词： “几个”、“相同”、“加数”、“和”
• 延伸： 乘法是加法的快捷方式，当加数不同时，不能用乘法。

2. 口算乘法

• 整十、整百数乘一位数：
  • 方法： 先用一位数乘整十、整百数中0前面的数，再在乘得的积的末尾添上相应个数的0。
  • 示例： 20 × 3 = 60 (2 × 3 = 6，再添上一个0)
• 估算乘法：
  • 方法： 将两位数或三位数估成与它接近的整十、整百数，再进行计算。
  • 示例： 39 × 4 ≈ 40 × 4 = 160
  • 注意： 估算结果并非精确值，而是近似值。

3. 笔算乘法

• 一位数乘多位数：
  • 计算步骤：
    1. 从个位起，用一位数依次去乘多位数的每一位。
    2. 哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。
  • 进位规则： 满十进一，满二十进二，以此类推。
  • 注意： 进位时要记清楚进位数，不要忘记加进位数。
• 末尾有0的乘法：
  • 简便算法： 可以先把0前面的数相乘，再看因数的末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。
  • 示例： 150 × 3 = 450 (15 × 3 = 45，再添上一个0)
• 连续进位的乘法：
  • 难点： 容易忘记加进位数，或者进位时出错。
  • 方法： 认真细致，可以把进位数写在算式旁边，防止遗漏。

4. 乘法应用

• 求几个几是多少： 用乘法计算。
  • 示例： 一共有多少个苹果？（每排5个，共3排） 5 × 3 = 15
• 求一个数的几倍是多少： 用乘法计算。
  • 示例： 鸡有5只，鸭的只数是鸡的3倍，鸭有多少只？ 5 × 3 = 15
• 解决实际问题：
  • 步骤：
    1. 理解题意，分析数量关系。
    2. 确定计算方法，列出算式。
    3. 进行计算，并检验结果。
    4. 写出答案。

二、除法

1. 除法的意义

• 本质： 平均分。
• 概念： 将一个数平均分成若干份，求每份是多少，或者求一个数里包含几个另一个数。
• 关键词： “平均分”、“每份”、“包含”
• 两种情况：
  • 平均分： 已知总数和份数，求每份的数量。（总数 ÷ 份数 = 每份的数量）
  • 包含分： 已知总数和每份的数量，求可以分成几份。（总数 ÷ 每份的数量 = 份数）

2. 口算除法

• 整十、整百数除以一位数：
  • 方法： 先用一位数去除整十、整百数中0前面的数，再看被除数的末尾有几个0，就在商的末尾添上相应个数的0。（除数不能为0）
  • 示例： 60 ÷ 3 = 20 (6 ÷ 3 = 2，再添上一个0)
• 估算除法：
  • 方法： 将被除数估成与它接近的整十、整百数，再进行计算。
  • 示例： 83 ÷ 4 ≈ 80 ÷ 4 = 20
  • 注意： 估算结果并非精确值，而是近似值。
  • 策略： 估算时要考虑除数，使估算的数更容易被除数整除。

3. 笔算除法

• 一位数除多位数：
  • 计算步骤：
    1. 从被除数的最高位除起。
    2. 如果被除数的最高位比除数小，就看前两位。
    3. 除到哪一位，就把商写在那一位的上面。
    4. 每次除后余下的数必须比除数小。
• 商中间或末尾有0的除法：
  • 商中间有0： 当除到被除数的某一位时，不够商1，就在那一位上商0。
  • 商末尾有0： 除到被除数的最后一位，如果没有余数，且商是整十、整百数，要在商的个位上写0。
• 余数：
  • 含义： 除法算式中不能被除数整除的部分。
  • 关系： 余数必须小于除数。
  • 验算： 商 × 除数 + 余数 = 被除数 (没有余数时：商 × 除数 = 被除数)

4. 除法应用

• 平均分问题：
  • 示例： 有24个苹果，平均分给3个小朋友，每个小朋友分到几个？ 24 ÷ 3 = 8
• 包含除问题：
  • 示例： 有24个苹果，每个小朋友分到3个，可以分给几个小朋友？ 24 ÷ 3 = 8
• 解决实际问题：
  • 步骤：
    1. 理解题意，分析数量关系。
    2. 确定计算方法，列出算式。
    3. 进行计算，并检验结果。
    4. 写出答案。
• 与乘法的综合应用：
  • 两步计算问题： 先用乘法求出总数，再用除法进行平均分。或者先用除法求出每份的数量，再用乘法求出几份的总数。

三、总结与提升

• 乘除法的关系： 互为逆运算。可以用乘法验算除法，也可以用除法验算乘法。
• 易错点：
  • 笔算乘法进位时忘记加进位数，或者进位出错。
  • 笔算除法商中间或末尾有0时，忘记写0。
  • 余数大于或等于除数。
  • 解决问题时，不理解题意，列错算式。
• 提升策略：
  • 多练习口算和笔算，提高计算速度和准确率。
  • 加强对乘除法意义的理解，能够灵活运用解决问题。
  • 认真审题，仔细检查，养成良好的计算习惯。
  • 学会估算，培养数感。
• 学习方法：
  • 结合生活实际理解乘除法的意义。
  • 通过画图、摆学具等方式帮助理解题意。
  • 积极参与课堂讨论，互相交流学习经验。

四、思维导图呈现 (文字描述)

此部分用文字描述思维导图的结构，实际应用中应使用图形化工具呈现。

• 中心主题： 三年级上册数学 - 乘与除
• 一级分支： 乘法
  • 二级分支： 乘法的意义
  • 二级分支： 口算乘法 (整十、整百数乘一位数，估算乘法)
  • 二级分支： 笔算乘法 (一位数乘多位数，末尾有0的乘法，连续进位的乘法)
  • 二级分支： 乘法应用 (求几个几是多少，求一个数的几倍是多少，解决实际问题)
• 一级分支： 除法
  • 二级分支： 除法的意义
  • 二级分支： 口算除法 (整十、整百数除以一位数，估算除法)
  • 二级分支： 笔算除法 (一位数除多位数，商中间或末尾有0的除法，余数)
  • 二级分支： 除法应用 (平均分问题，包含除问题，解决实际问题，与乘法的综合应用)
• 一级分支： 总结与提升
  • 二级分支： 乘除法的关系
  • 二级分支： 易错点
  • 二级分支： 提升策略
  • 二级分支： 学习方法

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