《数学思维导图六年级下》

一、 数与代数

1. 数的认识

1.1 整数

1.1.1 正整数

• 概念： 大于0的整数。
• 表示： 1, 2, 3, ...
• 作用： 计数、排序。

1.1.2 零

• 概念： 没有数量。
• 表示： 0
• 作用： 分界点、占位符。

1.1.3 负整数

• 概念： 小于0的整数。
• 表示： -1, -2, -3, ...
• 应用： 表示温度、海拔等。

1.2 分数

1.2.1 真分数

• 概念： 分子小于分母的分数。
• 特点： 小于1。
• 例子： 1/2, 2/3, 3/4

1.2.2 假分数

• 概念： 分子大于或等于分母的分数。
• 特点： 大于或等于1。
• 例子： 5/3, 7/4, 8/8

1.2.3 带分数

• 概念： 整数部分和真分数部分组成的数。
• 表示： 整数 + 真分数
• 互化： 假分数可以化为带分数或整数，带分数可以化为假分数。

1.3 小数

1.3.1 有限小数

• 概念： 小数部分位数有限的小数。
• 特点： 可以精确表示。
• 例子： 0.5, 1.25

1.3.2 无限小数

• 概念： 小数部分位数无限的小数。
• 分类： 无限循环小数、无限不循环小数。
• 无限循环小数： 小数部分从某一位开始重复出现一个或多个数字。
• 无限不循环小数： 小数部分不重复出现，无法精确表示。（如π）

1.3.3 百分数

• 概念： 表示一个数是另一个数的百分之几。
• 表示： %
• 应用： 增长率、折扣等。

1.4 数的互化

1.4.1 分数化小数

• 方法： 分子除以分母。
• 结果： 可能为有限小数或无限循环小数。

1.4.2 小数化分数

• 方法： 看小数点后有几位，化成分母为10、100、1000...的分数，再约分。

1.4.3 百分数化小数、分数

• 方法： 去掉百分号，除以100。

1.4.4 小数、分数化百分数

• 方法： 乘以100，加上百分号。

2. 式与方程

2.1 代数式

2.1.1 用字母表示数

• 意义： 简化表达、表示数量关系。

2.1.2 代数式的书写

• 规则： 数字在前，字母在后；乘号可以省略；除号用分数线代替。

2.1.3 代数式的值

• 求解： 将字母用具体的数值代入代数式，计算结果。

2.2 方程

2.2.1 方程的意义

• 概念： 含有未知数的等式。

2.2.2 解方程

• 目标： 求出未知数的值。
• 依据： 等式的性质（等式两边同时加上或减去同一个数，乘或除以同一个非零的数，等式仍然成立）。
• 常用方法： 移项、合并同类项。

2.2.3 方程的应用

• 步骤：
  1. 审题，理解题意。
  2. 找等量关系。
  3. 设未知数。
  4. 列方程。
  5. 解方程。
  6. 检验，写答案。

3. 比和比例

3.1 比

3.1.1 比的意义

• 概念： 表示两个数相除的关系。
• 表示： a : b
• 各部分名称： a为前项，b为后项，a/b 为比值。

3.1.2 比的基本性质

• 内容： 比的前项和后项同时乘或除以同一个非零的数，比值不变。

3.1.3 化简比

• 方法： 运用比的基本性质，将比化成最简整数比。

3.2 比例

3.2.1 比例的意义

• 概念： 表示两个比相等的式子。
• 表示： a : b = c : d

3.2.2 比例的基本性质

• 内容： 在比例 a : b = c : d 中，ad = bc（内项积等于外项积）。

3.2.3 解比例

• 方法： 运用比例的基本性质，将比例式转化为方程，求解。

3.3 正比例和反比例

3.3.1 正比例

• 概念： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
• 关系式： y/x = k (k为定值，不为0)
• 图像： 通过原点的直线。

3.3.2 反比例

• 概念： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
• 关系式： xy = k (k为定值，不为0)
• 图像： 双曲线。

4. 百分数的应用

4.1 折扣

• 定义： 商品按原价的百分之几出售。
• 计算： 现价 = 原价 × 折扣 (百分数形式)

4.2 成数

• 定义： 表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”。
• 计算： 一成=10%，二成=20%...

4.3 利率

• 定义： 一定时期内利息与本金的比率。
• 分类： 年利率、月利率、日利率。
• 计算： 利息 = 本金 × 利率 × 存期

4.4 税收

• 种类： 增值税、营业税、所得税等。
• 计算： 应纳税额 = 总收入 × 税率

二、 空间与图形

1. 圆柱与圆锥

1.1 圆柱

1.1.1 圆柱的认识

• 组成： 两个底面（圆形）、一个侧面（曲面）。
• 特点： 上下底面是完全相同的两个圆，侧面展开是长方形或正方形。

1.1.2 圆柱的表面积

• 计算： 侧面积 + 两个底面积
• 侧面积： 底面周长 × 高 （S = Ch = 2πrh）
• 底面积： πr²

1.1.3 圆柱的体积

• 计算： 底面积 × 高 (V = Sh = πr²h)

1.2 圆锥

1.2.1 圆锥的认识

• 组成： 一个底面（圆形）、一个侧面（曲面）、一个顶点。
• 特点： 侧面展开是扇形。

1.2.2 圆锥的体积

• 计算： 1/3 × 底面积 × 高 (V = 1/3 Sh = 1/3 πr²h)

2. 旋转

2.1 图形的旋转

• 要素： 旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角度。
• 性质： 旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
• 应用： 图案设计、解决实际问题。

三、 统计与概率

1. 统计

1.1 统计图

1.1.1 条形统计图

• 特点： 能清楚地表示出每个项目的具体数量。

1.1.2 折线统计图

• 特点： 能清楚地反映出数据的变化趋势。

1.1.3 扇形统计图

• 特点： 能清楚地表示出各部分数量占总数量的百分比。

1.2 数据分析

1.2.1 平均数

• 计算： 总数 ÷ 个数

1.2.2 中位数

• 定义： 将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数。如果数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数。

1.2.3 众数

• 定义： 在一组数据中，出现次数最多的数。

2. 可能性

2.1 可能性的大小

• 概念： 事件发生的概率。
• 计算： 可能性 = 发生的可能情况 ÷ 总情况数
• 应用： 预测事件发生的概率，做出决策。

四、 数学广角-鸽巢问题

1. 鸽巢问题

1.1 基本形式

• 内容： 将多于n个的物体任意放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放了不少于2个物体。

1.2 推广形式

• 内容： 将多于n × k 个的物体任意放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放了不少于k+1个物体。

1.3 应用

• 解决问题： 证明某些必然性问题。

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