《几何图形初步思维导图》
一、点、线、面、体
1.1 基本概念
-
点：
- 没有大小，只有位置。
- 表示：大写字母，如点A。
- 是构成几何图形的基本元素。
-
线：
- 由无数个点构成。
- 分类：
- 直线：
- 没有端点，向两方无限延伸。
- 表示：用两个大写字母（直线AB）或一个小写字母（直线l）。
- 性质：两点确定一条直线。
- 射线：
- 只有一个端点，向一方无限延伸。
- 表示：端点字母在前，射线上的另一点字母在后（射线OA）。
- 性质：端点位置影响射线。
- 线段：
- 有两个端点，长度可以度量。
- 表示：用两个端点的大写字母（线段AB）。
- 中点：把一条线段分成两条相等线段的点。
- 直线：
-
面：
- 由线运动形成。
- 分类：
- 平面：可以向四周无限延伸。
- 曲面：如球的表面。
-
体：
- 由面运动形成。
- 占据空间的一部分。
- 如长方体、正方体、球体等。
1.2 点、线、面之间的关系
- 点动成线，线动成面，面动成体。
- 几何体是由面组成的，面是由线组成的，线是由点组成的。
- 点是构成几何图形的基本元素。
1.3 立体图形与平面图形
- 立体图形：占据三维空间的图形，具有长、宽、高三个维度。如长方体、圆柱、圆锥、球体等。
- 平面图形：位于同一平面内的图形，只有长和宽两个维度。如三角形、正方形、圆形等。
- 展开图：将立体图形沿棱剪开铺平，得到的平面图形。
二、线段的比较与度量
2.1 线段的比较
- 叠合法：将一条线段移动到另一条线段上进行比较。
- 重合：两条线段相等。
- 部分重合：长的线段大于短的线段。
- 度量法：用刻度尺测量线段的长度，比较数值大小。
2.2 线段的度量
- 单位：常用的长度单位有毫米(mm)、厘米(cm)、分米(dm)、米(m)、千米(km)。
- 刻度尺的使用：
- 零刻度线对齐线段一端。
- 读数时视线要与刻度线垂直。
- 测量结果要估读到分度值的下一位。
2.3 线段的和、差、倍、分
- 线段的和：将两条线段首尾顺次连接，得到的线段。
- 线段的差：从一条线段上截取另一条线段，剩余的线段。
- 线段的倍、分：将一条线段延长或缩短，得到原线段的整数倍或分数。
- 线段的中点：将线段分成两条相等线段的点，中点把线段二等分。
- 若点M是线段AB的中点，则AM = MB = (1/2)AB， AB = 2AM = 2MB
三、角的度量与表示
3.1 角的概念
- 定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
- 角的要素：顶点、边。
- 角的表示：
- 用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，如∠AOB。
- 用一个大写字母表示，当顶点只有一个角时，如∠O。
- 用数字表示，如∠1。
- 用希腊字母表示，如∠α。
3.2 角的度量
- 单位：度(°)、分(')、秒(")。
- 1° = 60'， 1' = 60"。
- 量角器的使用：
- 量角器的中心对准角的顶点。
- 量角器的零刻度线对齐角的一边。
- 角的另一边所对的刻度即为角的度数。
3.3 角的分类
- 锐角：大于0°小于90°的角。
- 直角：等于90°的角。
- 钝角：大于90°小于180°的角。
- 平角：等于180°的角。
- 周角：等于360°的角。
- 互余：两个角的和等于90°。
- 互补：两个角的和等于180°。
3.4 角的比较与运算
- 角的比较：
- 叠合法：将一个角的顶点和一边与另一个角的顶点和一边重合，比较另一边的位置。
- 度量法：测量角的度数，比较数值大小。
- 角的运算：角的和、差、倍、分。
- 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
- 若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB， ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC。
四、垂直与平行
4.1 相交线
- 定义：两条直线有一个公共点时，称这两条直线相交。
- 邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角。
- 邻补角互补。
- 对顶角：两条直线相交所构成的四个角中，没有公共顶点也没有公共边的两个角。
- 对顶角相等。
- 垂直：两条直线相交成直角时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
- 表示：a⊥b。
- 性质：
- 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
- 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（垂线段最短）。
4.2 平行线
- 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
- 表示：a∥b。
- 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
- 平行线的性质：
- 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
- 平行线的判定：
- 同位角相等，两直线平行。
- 内错角相等，两直线平行。
- 同旁内角互补，两直线平行。
五、应用
- 测量距离： 利用线段的和差关系解决实际问题。
- 航海问题： 利用方位角、方向角等解决实际问题。
- 建筑设计： 利用垂直、平行的知识进行设计。
- 生活中的几何： 观察生活中的几何图形，培养几何意识。